3.3 KiB
3.3 KiB
Matice
Maticí typu m/n nazveme soubor (tabulku) m x n prvků (čísel) a_{ij}
zapsaných do m řádků a n sloupců.
značení | význam |
---|---|
(i, j) |
pozice v matici |
a_{ij} |
prvek na pozici (i, j) |
i |
řádkový index |
a_{kk} |
diagonální prvek matice |
m/n |
typ matice: m řádků, n sloupců |
Názvy matic
Tvarové
- Čtvercová matice
- mají stejný počet řádků a sloupců
- Obdélníková matice
- rozdílný počet řádků a sloupců
- $m$-složkový sloupcový vektor
- matice typu
m/1
(jeden sloupec)
- matice typu
- $n$-složkový řádkový vektor
- matice typu
1/n
(jeden řádek)
- matice typu
Další
- Nulová matice
- matice typu
m/n
plná nul, značíme 0 A_{ij} = 0
\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
- matice typu
- Diagonální matice
- čtvercová matice s nenulovými čísly pouze na hlavní diagonále
- pro
i \neq j : A_{ij} = 0
diag\{1, -3, 0\} = A = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
- Jednotková matice
- diagonální matice s 1 na hlavní diagonále
- pro
i \neq j : a_{ij} = 0, a_{ii} = 1
I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
- Symetrická matice
- čtvercová matice, kde se
a_{ij}
rovnáa_{ji}
\forall i, j : a_{ij} = a_{ji}
A_{1} = \begin{bmatrix} 1 & \underline{2} & \underline{1} \\ \underline{2} & 1 & \underline{0} \\ \underline{1} & \underline{0} & 3 \end{bmatrix}
- čtvercová matice, kde se
- Antisymetrická matice
- čtvercová matice, kde se
a_{ij}
rovná-a_{ji}
- na hlavní diagonále musí mít nuly, protože
0 = -0
\forall i, j : a_{ij} = -a_{ji}
A_{2} = \begin{bmatrix} 0 & \underline{2} & \underline{-1} \\ \underline{-2} & 0 & \underline{3} \\ \underline{1} & \underline{-3} & 0 \end{bmatrix}
- Poznámka: V antisymetrické matici jsou všechny prvky
a_{ii} = 0
- čtvercová matice, kde se
- Horní a dolní trojúhelníková matice
- Pro H platí pro všechna
i > j
, žea_{ij} = 0
- Pro D platí pro všechna
i < j
, žea_{ij} = 0
H = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \quad D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}
- Pro H platí pro všechna
Operace
- Rovnost
A = B
pokud všechnya_{ij} = b_{ij}
- Opačná matice
- matice
[-a_{ij}]
značená-A
je opačná matice k maticiA
- matice
- Transponovaná matice
- matice
a_{ji}
typun/m
značenáA^T
je transponovaná k maticia_{ij}
typum/n
značenéA
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ \ \ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}
- z toho plyne:
A
je symetrická, právě kdyžA = A^T
A
je antisymetrická, právě kdyžA = -A^T
(A^T)^T = A
- matice
- Sčítání a odčítání
- sčítáme/odčítáme prvky na stejných pozicí
- Násobení konstantou
- vynásobíme všechny členy konstantou
- Násobení dvou matic
- nekomutativní
- pouze když násobíme matici
A_{m/\underline{n}}
maticíB_{\underline{n}/p}
- výsledná matice bude
C_{m/p}
Pivot
Pivotem v řádku i
je první nenulové číslo v tomto řádku zleva.