4.8 KiB
Prostory se skalárním součinem
Skalární součin
Nechť U
je lineární vektorový prostor nad \mathbb{R}
. Zobrazení (\vec{x}, \vec{y}):U \times U \to \mathbb{R}
splňující vlastnosti
(\vec{x}, \vec{x}) \geq 0
pro každé\vec{x} \in U; (\vec{x}, \vec{x}) = 0
, právě když\vec{x} = \vec{o}
,(\vec{x}, \vec{y}) = (\vec{y}, \vec{x}) \space \forall \vec{x}, \vec{y} \in U
,(k\vec{x}, \vec{y}) = k(\vec{x}, \vec{y}) \space \forall \vec{x}, \vec{y} \in U
a\forall k \in \mathbb{R}
(\vec{x} + \vec{y}, \vec{z}) = (\vec{x}, \vec{z}) + (\vec{y}, \vec{z}) \space \forall \vec{x}, \vec{y}, \vec{z} \in U
,
se nazývá skalární součin.
Euklidovský prostor
Lineární vektorový prostor se skalárním součinem se nazývá Eukleidovský prostor.
Příklad:
\mathbb{R}^3 : (\vec{x}, \vec{y}) = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + x_{3}y_{3}
\displaystyle \mathbb{R}^n : (\vec{x}, \vec{y}) = x_{1}y_{1} + x_{1}y_{1} + \dots + x_{n}y_{n} = \sum^n_{i=1} x_{i}y_{i}
\displaystyle C(0, 1) : (f, g) = \int^1_{0} f(x) \cdot g(x) \, dx
\displaystyle \mathbb{P}_{n} : (p(x); q(x)) = \int^b_{a} p(x) \cdot q(x) \, dx
V Eukleidovském prostoru platí (pro každé k \in \mathbb{R}
a \vec{x}, \vec{y}, \vec{z} \in U
):
(\vec{x}, k\vec{y}) = k(\vec{x}, \vec{y})
(\vec{x}, \vec{y} + \vec{z}) = (\vec{x}, \vec{y}) + (\vec{x}, \vec{z})
(\vec{x}, \vec{o}) = (\vec{o}, \vec{x}) = 0
Cauchy-Schwarzova nerovnost - Je-li U
Eukleidovský prostor, potom pro každé \vec{x}, \vec{y} \in U
platí
(\vec{x}, \vec{y})^2 \leq (\vec{x}, \vec{x}) \cdot (\vec{y}, \vec{y})
.
Norma
Norma v lineárním vektorovém prostoru U
je zobrazení \Vert \vec{x} \Vert : U \to \mathbb{R}
s vlastostmi
\Vert \vec{x} \Vert \geq 0 \, \forall \vec{x} \in U;\space \Vert \vec{x} \Vert = 0
, právě když\vec{x} = \vec{o}
,\Vert k\vec{x} \Vert = \vert k \vert \cdot \Vert \vec{x} \Vert \ \forall\vec{x} \in U
a\forall k \in \mathbb{R}
,\Vert \vec{x} + \vec{y} \Vert \leq \Vert \vec{x} \Vert + \Vert \vec{y} \Vert \ \forall \vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}
.
Je-li U
Eukleidovský prostor, potom \Vert \vec{x} \Vert = \sqrt{ (\vec{x}, \vec{x}) }
je norma. Nazývá se norma indukovaná sklárním součinem.
Pro dva prvky x, y
libovolného L.V.P. U
lze definovat úhel dvou prvků
$$
\displaystyle \phi = \arccos \frac{(\vec{x}, \vec{y})}{\Vert \vec{x} \Vert \cdot \Vert \vec{y} \Vert}
a vzdálenost dvou prvků d(\vec{x}, \vec{y}) = \Vert \vec{x} - \vec{y} \Vert
. Vzdálenosti se obvykle říká metrika a příslušnému prostoru metrický prostor.
Ortogonalita
Dva prvky \vec{x}, \vec{y}
Eukleidovského prostoru U
jsou ortogonální (kolmé), jestliže (\vec{x}, \vec{y}) = 0
.
- Píšeme
\vec{x} \perp \vec{y}
. - Množiny
X, Y, \subset U
jsou ortiginální, jestliže\vec{x} \perp \vec{y}
pro každé\vec{x} \in X
a\vec{y} \in Y
.
Každá podmnožina Eukleidovského prostoru, jejíž prvky jsou nenulové a navzájem ortogonální, je LN.
- Žádný ze vzájemně kolmých vektorů není možné vyjádřit jako LK ostatních.
Pythagorova věta
Nechť U
je Eukleidův prostor, \vec{x}, \vec{y} \in U
. Potom
$$
\vec{x} \perp \vec{y} \iff \Vert \vec{x} + \vec{y} \Vert^2 = \Vert \vec{x} \Vert^2 + \Vert \vec{y} \Vert^2.
Ortogonální báze
Báze Eukleidovského prostoru U
, jejíž každé dva prvky jsou ortogonální.
- např. kanonická báze
V každém Eukleidovském prostoru konečné dimenze existuje ortogonální báze.
Gram-Schmidtův ortogonalizační proces
- určení ortogonální báze ze zadané báze
-
Mějme v
U
bázi\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \dots, \vec{b}_{n};
hledáme ortogonální bázi\vec{g}_{1}, \vec{g}_{2}, \dots, \vec{g}_{n}
. -
Položíme
\vec{g}_{1} = \vec{b}_{1}
. -
Určíme
\displaystyle \vec{g}_{2} = \vec{b}_{2} - \frac{\vec{b}_{2}, \vec{g}_{1}}{(\vec{g}_{1}, \vec{g}_{1})} \vec{g}_{1}
, což je ortogonální (kolmý) průmět vektoru\vec{b}_{2}
do přímky dané vektorem\vec{g}_{1}
. Platí, že\vec{g}_{2} \perp \vec{g}_{1}
. -
Obecně hledáme
\vec{g}_{k}
jako\vec{b}_{k} - \overline{\vec{b}_{k}}
, kde\overline{\vec{b}_{k}}
je ortogonální průmět prvku\vec{b}_{k}
do podprostoru s ortogonální bází\vec{g}_{1}, \vec{g}_{2}, \dots, \vec{g}_{k-1}
. Tedy: $$ \displaystyle \vec{g}{k} = \vec{b}{k} - \biggl( \frac{(\vec{b}{k}, \vec{g}{1})}{(\vec{g}{1}, \vec{g}{1})} \vec{g}{1} + \frac{(\vec{b}{k}, \vec{g}{2})}{(\vec{g}{2}, \vec{g}{2})} \vec{g}{2} + \dots + \frac{(\vec{b}{k}, \vec{g}{k-1})}{(\vec{g}{k-1}, \vec{g}{k-1})} \vec{g}_{k-1} \biggr). -
Pak jistě
\vec{g}_{k} \perp \vec{g}_{1}, \vec{g}_{k} \perp \vec{g}_{2}, \dots, \vec{g}_{k} \perp \vec{g}_{k-1}
.