6.2 KiB
6.2 KiB
Množiny
- soubor vzájemně různých prvků (naivní reorie množin)
A, B, X; a \in A, a \notin A, A \ni a
Možinové operace
A \cup B = \{ u \mid w \in A \vee u \in B \}
A \cap B
A \setminus B
de Morganovy zákony
A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)
Rovnost dvou množin
A = B \iff A \leq B \wedge B \leq A
Kartézský součin množin
A \cdot B = \{ (a, b) \mid a \in A \wedge b \in B \}
B \cdot A = \{ (b,a) \mid b \in B \wedge a \in A \}
A_{1}\cdot A_{2}\cdot\dots \cdot A_{n} = \{ (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) \mid a_{i} \in A_{i} \, \forall \, i = 1, \dots, n \}
Základní množiny číselné
\mathbb{N}, \mathbb{N}_{0}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}
Funkce
F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}
(reálné funkce reálné proměnné)
y = e^x
(exponenciela)
- důležitá funkce v DMA
- def. obor
\mathbb{R}
- obor hodnot
(0, +\infty)
y' = e^x
\displaystyle e^x = \sum \frac{x^n}{n!}
1 + x \leq e^x
Zobrazení
F : A \to B
\forall \, a \in A \quad \exists \text{ nejvýše 1 } b \in B
Relace
Binární relace z množina A do množiny B
\rho \leq A \times B
n-ární relace A_{1}, \dots, A_{n} \quad \rho \leq A_{1} \times \dots \times A_{n}
Příklad
- dělitelnost na
\mathbb{N} \dots \varrho
a, b \in \mathbb{N} \quad a \, \rho \, b \iff a \mid b
- relace rovnoběžnosti:
R^2
přímkyp \, \rho \, q \iff p \Vert q
Obory
- levý obor relace ... zobecnění definičního oboru
- pravý obor relace ... zobecnění oboru hodnot
Definice
\varrho \leq A \times B
- levý obor:
L_{\rho} = \{ a \in A \mid \exists \, b \in B : (a, b) \in \rho \}
neboa \, \rho \, b
- pravý obor:
R_{\rho} = \{ b \in B \mid \exists \, a \in A : (a, b) \in \rho \}
neboa \, \rho \, b
- levý obor:
Příklad
X = \{ 2, 3, 5 \} \quad Y = \{ 1, 4, 7, 10 \}
\rho \leq X \times Y, \quad x \, \rho \, y \iff x \mid y
\rho = \{ (2, 4), (2, 10), (5, 10) \}
L_{\rho} = \{ 2, 5 \}
P_{\rho} = \{ 4, 10 \}
Operace s relacemi
- průnik, sjednocení, ...
\rho_{1}, \rho_{2} \leq Y \times X \qquad \rho_{1} \leq \rho_{2} \quad \rho_{1} \text{ implikuje } \rho_{2}
Př. X, Y
množina osob
\rho_{1} x \text{ si tyká s } y
\rho_{2} x \text{ zná } y
\rho_{1} \leq \rho_{2}
Skládání relací (jako skládání funkcí)
\rho_{1} \leq X \times Y, \quad \rho_{2} \leq Y \times Z
\rho_{1} \circ \rho_{2} = \{ (x, z) \mid x \in X, z \in Z, \exists \, y \in Y : x \, \rho_{1} \, y \wedge y \, \rho_{2} \, z \}
- obecně nekomutativní, asociativní
Věta o asociativitě skládání
X, Y, Z, W, \quad \rho_{1} \leq X \times Y, \quad \rho_{2} \leq Y \times Z, \quad \rho_{3} \leq Z \times W
, pak platí\rho_{1} \circ (\rho_{2} \circ \rho_{3}) = (\rho_{1} \circ \rho_{2}) \circ \rho_{3}
Dk: x \, [\rho_{1} \circ (\rho_{2} \circ \rho_{3})] \, w
\exists \, y \in Y : x \, \rho_{1} \, y \wedge y \, (\rho_{2} \circ \rho_{3}) \, w
\exists \, z \in Z : x \, \rho_{2} \, z \wedge z \, \rho_{3} \, w
\implies \exists \, y \in Y \exists z \in Z : x \rho_{1} y \wedge y \rho_{2} z \wedge z \rho_{3} w
\implies x \, [(\rho_{1} \circ \rho_{2}) \circ \rho_{3}] \, w
Relace na množině
\rho \leq X \times X
Př.
- a) dělitelnost
\mathbb{N}
-a \, \rho \, b \iff a \mid b \quad \rho \leq \mathbb{N} \times \mathbb{N}
a \, \rho \, a \quad a \mid a \quad \forall \, a \in \mathbb{N} : a \mid a
- reflexivitaa \, \rho \, b \wedge b \, \rho \, a \quad \forall \, a \in \mathbb{N} : a \mid b \wedge b \mid a \implies a = b
- slabá antisymetriea \, \rho \, b \wedge b \, \rho \, c \quad \forall \, a, b, c \in \mathbb{N} : a \mid b \wedge b \mid c \implies a \mid c
- tranzitivita
- b) inkluze
A \, \rho \, B \iff A \subseteq B
\forall \, A \in X \quad A \subseteq A
- reflexivní\forall \, A, B \in X \quad A \subseteq B \wedge B \subseteq A \implies A = B
- slabě antisymetrická\forall \, A, B, C \in X \quad A \subseteq B \wedge B \subseteq C \implies A \subseteq C
- tranzitivní
- c)
\leq R \quad
\forall \, a \in \mathbb{R} : a \leq a
- reflexivní\forall \, a, b \in \mathbb{R} : a \leq b \wedge b \leq a \implies a = b
- slabě antisymetrická\forall \, a, b, c \in \mathbb{R} : a \leq b \wedge b \leq c \implies a \leq c
- tranzitivní< \mathbb{R} \quad \forall \, a, b \in \mathbb{R} : a < b \implies b \cancel{\lt} a
- silná antisymetrie
Vlastnosti
\rho \leq X \times X
\rho
reflexivní, pokud\forall \, a \in X : a \, \rho \, a
\rho
slabě antisymetrická, pokud\forall \, a, b \in X : a \, \rho \, b \wedge b \, \rho \, a \implies a = b
\rho
silně antisymetrická, pokud\forall \, a, b \in X : a \, \rho \, b \wedge b \, \cancel\rho \, a
\rho
symetrická, pokud\forall \, a, b \in X : a \, \rho \, b \wedge b \, \rho \, a
\rho
tranzitivní, pokud\forall \, a, b, c \in X : a \, \rho \, b \wedge b \, \rho \, c \implies a \, \rho \, c
\rho
ekvivalentní, pokud\rho
je reflexivní, symetrická a tranzitivní\rho
tolerantní, pokud\rho
je reflexivní a symetrická
Třídy ekvivalence
- Př. Matice řádu
n
...A \, \rho \, B \iff hod A = hod B
Rozklad množiny
X, \{ B_{i} \}_{i \in I}
B_{i} \neq \emptyset \quad \forall \, i \in I
B_{i} \cap B_{j} = \emptyset \quad \forall \, i \neq j
\cup_{i\in I} \, B_{i} = X
mezi ekvivalencí a rozklady existuje vzájemně jednoznačný vztah - bijekce
[?] kolik existuje rozkladů n-prvkové množiny
Rekurentní počítání
- Př. (Fibonacciho čísla) - 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
- Jak zjistit 1000. člen?
F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}, \quad F_{1} = 1, F_{2} = 1
F_n
jako funkce n?F_{n-1} = F_{n-1}
f_{n} = (F_{n}, F_{n-1})^T, \quad f_{n-1} = (F_{n-1}, F_{n-2})^T
F_{n} = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix} f_{n-1} = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}^2 f_{n-2} = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}^{n-1} f_{1}
A = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}
f_{n} = A \cdot f_{n-1}
A = T \cdot J \cdot T^{-1}
A^n = T \cdot J^n \cdot T^{-1} = T \cdot J^n \cdot T^{-1} \cdot T \cdot J^n \cdot T^{-1} \cdot \dots \cdot T \cdot J^n \cdot T^{-1}