1.9 KiB
1.9 KiB
Limita funkce a spojitost
Mějme dánu funkci f : D \to \mathbb{R}
a bod x_0 \in \mathbb{R}^*
, který je hromadným bodem D
.
Řekneme, že funkce f
má limitu b \in \mathbb{R}^*
v bodě x_{0}
, jestliže pro každou posloupnost (x_{0})
platí
$$
\left( ( \space \forall , n \in \mathbb{N} : x_{n} \in D \quad \land \quad x_{n} \neq x_{0} \space ) \quad \land \quad \lim_{ n \to \infty }{x_{n}} = x_{0} \space \right) \quad \implies \quad \lim_{ n \to \infty }{f(x_{n})} = b
a píšeme \displaystyle\lim_{ x \to \infty }{f(x)} = b
.
Spojitost funkce
- spojité funkce umíme načrtnout jedním tahem
- příklad
- spojité procesy (růst člověka)
- nespojité procesy (bankovní účet)
Definice
Funkce f
je
typ spojitosti | podmínka |
---|---|
spojitá v x_0 \in D_f |
pokud \displaystyle f(x_{0}) = \lim_{ x \to x_{0} } f(x) |
spojitá zprava v x_0 \in D_f |
pokud \displaystyle f(x_{0}) = f(x_{0}+) |
spojitá zleva v x_0 \in D_f |
pokud \displaystyle f(x_{0}) = f(x_{0}-) |
Body nespojitosti
Tři druhy bodů nespojitosti:
- ON - odstranitelná nespojitost
- pokud
\displaystyle f(x_{0}) \neq \lim_{ x \to x_{0} } f(x) \in \mathbb{R}
- limita zprava i zleva je stejná -
f(x_{0}+) = f(x_{0}-)
- limita zprava i zleva je stejná -
- funkční hodnota v
x_0
se nerovná limitě vx_0
, která je vlastní
- pokud
- NN1D - neodstranitelné nespojitost 1. druhu
- pokud
f(x_{0}+), f(x_{0}-) \in \mathbb{R}
, alef(x_{0}+) \neq f(x_{0}-)
- limita zprava i zleva je vlastní, ale nerovnají se
- nazývá se také skoková nespojitost se skokem
s
- pokud
- NN2D - neodstranitelná nespojitost 2. druhu
- neexistuje alespoň jedna vlastní limita
f(x_{0}+)
nebof(x_{0}-)
- alespoň jedna neexistuje nebo není alespoň jedna vlastní
- neexistuje alespoň jedna vlastní limita