6.3 KiB
Numerické derivování a integrování. Diference. Richardsonova extrapolace. Newtonovy-Cotesovy vzorce. Gaussovy kvadraturní vzorce. Jednoduché a složené kvadraturní vzorce.
Numerické derivování
- existuje konečná
\displaystyle\lim_{ h \to \infty } \frac{f(x+h) - f(x_{0})}{h} \implies f(x)
má v boděx_{0}
derivaci - umíme zderivovat jakoukoliv funkci, ale musíme mít zadaný její předpis - co pokud máme jen některé hodnoty? (chceme zpočítat derivaci numericky)
Způsoby odvození
- pomocí interpolačního polynomu
- pro funkci
f
zadanou tabulkou sestrojíme interpolační polynom a ten zderivujeme - stupeň polynomu musí být větší nebo roven řádu počítané derivace
- pro funkci
- pomocí Taylorova rozvoje
Diference
Levá a pravá poměrná diference (dvoubodové)
- vytvoříme Taylorův rozvoj v bodech
(x_{0}+h)
a(x_{0}-h)
(musíme mít dostatečně hladkou funkci)f(x_{0}+h) = f(x_{0}) + h\cdot f'(x_{0}) + \frac{h^2}{2}\cdot f''(\xi_{1}); \quad \xi_{1} \in (x_{0}, x_{0}+h)
f(x_{0}-h) = f(x_{0}) - h\cdot f'(x_{0}) + \frac{h^2}{2}\cdot f''(\xi_{2}); \quad \xi_{2} \in (x_{0}-h, x_{0})
- z 1. rovnice získáme pravou poměrnou diferenci
\displaystyle f'(x_{0}) = D_{P} f(x_{0}) - \text{chyba} = \frac{f(x_{0}+h) - f(x_{0})}{h} - \frac{h}{2}\cdot f''(\xi_{1})
- z 2. rovnice získáme levou poměrnou diferenci
\displaystyle f'(x_{0}) = D_{L}f(x_{0}) + \text{chyba} = \frac{f(x_{0}) - f(x_{0}-h)}{h} + \frac{h}{2}\cdot f''(\xi_{2})
O(h)
... chyba, řád desetin proh < 1
Centrální poměrná diference (tříbodová)
- vytvoříme Taylorův rozvoj 2. řádu
f(x_{0}+h) = f(x_{0}) + h\cdot f'(x_{0}) + \frac{h^2}{2} \cdot f''(x_{0}) + \frac{h^3}{6} \cdot f'''(\xi_{1}); \quad \xi_{1} \in (x_{0}, x_{0}+h)
f(x_{0}-h) = f(x_{0}) - h\cdot f'(x_{0}) + \frac{h^2}{2} \cdot f''(x_{0}) - \frac{h^3}{6} \cdot f'''(\xi_{2}); \quad \xi_{2} \in (x_{0}-h, x_{0})
- rovnice od sebe odečteme
\displaystyle f(x_{0}+h) - f(x_{0}-h) = 2h\cdot f(x_{0}) + \frac{\frac{h^3}{6}(f'''(\xi_{1}) + f'''(\xi_{2}))}{\frac{h^2}{6} f'''(\xi)}
- vyjádřením
f'
a získáme centrální poměrnou diferenci\displaystyle f'(x_{0}) = D_{C} f(x_{0}, h) - \text{chyba} = \frac{f(x_{0}+h) - f(x_{0}-h)}{2h} - \text{chyba}
O(h^2)
... chyba, řád setin proh < 1
Vždy je nejlepší použít centrální poměrnou diferenci. Na krajích ale nemáme k dispozici dva body, takže využijeme levou a pravou poměrnou diferenci.
Podmíněnost
- úloha numerického derivování je špatně podmíněna
- pro změnšující se
h
roste chyba (prvně klesá, poté začne strmě narůstat)
- pro změnšující se
- chceme najít optimální krok
h_{opt} \to
Richardsonova extrapolace
Richardsonova extrapolace
Využijeme 2 přibližných výsledků k získání třetího, který bude přesnější.
- zvýšení přesnosti - numerická derivace je špatně podmíněná
Např. pro centrální diferenci
- vyjádříme centrální diferenci pro krok
h
a2h
z Taylorova rozvoje 4. řádu D_{C}(x_{0}, h) = f'(x_{0}) + \frac{h^2}{6}f'''(x_{0})+O(h^4)
D_{C}(x_{0}, 2h) = f'(x_{0}) + \frac{4h^2}{6}f'''(x_{0}) + O(h_{4})
- rovnice od sebe odečteme, aby zmizel prostřední člen
4D_{C}(x_{0},h)-D_{C}(x_{0},2h) = 3f'(x_{0}) + O(h^4)
- vyjádříme derivaci
\displaystyle f'(x_{0}) = \frac{4D_{C}(x_{0},h)-D_{C}(x_{0},2h)}{3} - O(h^4)
Vycházet jsme mohli z hodnot, které měly řádově chybu O(h^2)
. Šikovnou kombinací jsme získali chybu pouze O(h^4)
. Je možné pokračovat a snížit chybu ještě více.
Numerické integrování
Použití
- když nená možno integrál spočítat analyticky (nebo je to velmi pracné)
- když máme funkci
f
zadanou tabulkou
Funkci f
aproximuje funkce \displaystyle\varphi \to I(f) \approx I(\varphi) = \int_{a}^b \varphi(x) \, dx
.
Jedná se o stabilní úlohu (narozdíl od derivování).
Princip
- interval
\langle a,b\rangle
rozdělíme naN
podintervalů\langle x_{k}, x_{k+1}\rangle
(pro jednoduchost stejně velkých) - na podintervalech nahradíme funkci
f
polynomem a ten integrujeme - vzorce pro výpočet integrálů (kvadraturní vzorce)
- základní - na intervalech
\langle x_{k},x_{k+1}\rangle
- složený - přes celý interval
\langle a,b\rangle
(součet základních kv. vzorců)
- základní - na intervalech
- uzly
x_{k} = x_{0} + k\cdot h
k = 0,1,\dots,N-1
h = \frac{b-a}{N}
Newton-Cotesovy vzorce
Základní kvadraturní vzorce
- obdélníkové pravidlo
f
nahrazujeme konstantní funkcí\varphi
\displaystyle\int_{x_{k}}^{x_{k+1}} f(x) \, dx \approx h\cdot f\left( x_{k}+\frac{h}{2} \right) = R_{Z}(f,h)
- lichoběžníkové pravidlo
f
nahrazujeme lineární funkcí\varphi
\displaystyle\int_{x_{k}}^{x_{k+1}} f(x) \, dx \approx \frac{h}{2}[f(x_{k})+f(x_{k+1})] = T_{Z}(f,h)
- Simpsonovo pravidlo
f
nahrazujeme kvadratickou funkcí\varphi
\displaystyle\int_{x_{k}}^{x_{k+2}} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3}[f(x_{k})+4f(x_{k+1})+f(x_{k+2})] = S_{Z}(f,h)
Chyby základních vzorců
- nejmenší chyba je u Simpsonova pravidla
- obdélníkové pravidlo je přesnější než lichoběžníkové
Složení N-C vzorců
- získáme sečtením základních kvadraturních vzorců
\displaystyle\int_{a}^b f(x) \, dx = \sum_{0}^{N-1} \int_{x_{k}}^{x_{k+1}} f(x) \, dx \approx \sum_{0}^{N-1} \int_{x_{k}}^{x_{k+1}} \varphi(x) \, dx
Vlastnosti
- N-C vzorce nejsou konvergentní
- ke zvýšení přesnosti možno využít Richardsonovu extrapolaci
- volit
h
a\frac{h}{2}
nebo kombinovat dvě různá pravidla
- volit
Gaussovy kvadraturní vzorce
Snažíme se, aby kvadraturní vzorec integroval přesně polynomy co možná nejvyššího řádu.
Obecný tvar kvadraturního vzorce
\displaystyle K(f) = \sum_{i=0}^m w_{i}\cdot f(x_{i})
w_{i}
... váhyx_{i}
... uzly (neekvidistantní)
Vlastnosti
- máme-li
m+1
bodů, tak vzorec integruje přesně až do2m-1
stupně polynomu - vyšší přesnost, ale neekvidistantní uzly (nemají od sebe stejnou vzdálenost)
- Gaussovy kv. vzorce vždy konvergují
Vzorce
- jednobodový vzorec:
K = w_{0}\cdot f(x_{0})
- splyne s obdélníkovým pravidlem
- dvoubodový vzorec:
K = w_{0}f(x_{0}) + w_{1}f(x_{1})
- pro 1 interval má dva obdélníky
- tříbodový vzorec:
K = w_{0}f(x_{0}) + w_{1}f(x_{1}) + w_{2}f(x_{2})