5.7 KiB
5.7 KiB
Přímé metody pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Gaussova eliminační metoda. LU a Choleského rozklad. Existence a jednoznačnost trojúhelníkového rozkladu. Stabilita trojúhelníkového rozkladu. Přímé metody pro soustavy se speciální maticí.
Soustava lineárních algebraických rovnic
Přímé metody
- metody, kde výpočet probíhá bez zaokrouhlovacích chyb, tedy zcela přesně
Formulace
- máme čtvercovou matici
A
a vektor pravé stranyb
- hledáme vektor
x
takový, aby platiloAx = b
- předpokládáme, že
A
je regulární (tj. soustava má jedno řešení)
2 typy soustav
- soustavy s obecnou maticí
- přímé metody
- soustavy se speciální maticí (symetrická, řídká, ...)
- iterační nebo modifikovace přímých metod
Cramerovo pravidlo
- vypočítáme determinant matice
A
a determinant maticeA_{i}
, kde $i$-tý sloupec nahradíme vektoremb
\displaystyle x_{i} = \frac{\det(A_{i})}{\det (A)}
- nutno vypočítat
(n+1)
determinantů
Gausova eliminační metoda
- převedení matice na trojúhelníkový tvar sčítáním řádku s násobkem jiného
- cílem je vynulování části sloupce pod diagonálou
- trojúhelníkovou soustavu řešíme zpětným chodem
Efektivnost algoritmu GEM
- výpočet multiplikátoru + přímý chod + zpětný chod
- časová složitost
O(n^3)
Realizovatelnost GEM
- může se stát, že algoritmus bude nucen při řádkových úpravách dělit nulou
- pro tyto případy normální GEM není realizovatelná a musíme použít GEM s pivotací
- je-li matice
A
ostře diagonálně dominatní, pak je algoritmus GEM realizovatelný- absolutní hodnota čísla na diagonále je ostře větší než součet absolutních hodnot a ostatních čísel v tomto řádku
- je-li matice
A
symetrická a pozitivně definitní, pak je algoritmus GEM realizovatelný- pozitivně definitní - má všechna vlastní čísla kladná
GEM se sloupcovou pivotací
- vždy vezmeme sloupec a najdeme v něm největší absolutní hodnotu a prohodíme řádky tak, aby to číslo bylo na diagonále (tím zajistíme, že nebudeme dělit nulou)
- nevýhodnou je prohledávání
- s postupující GEM se ale zrychluje - prohledáváme méně prvků
- řádková pivotace
- princip stejný, akorát je třeba zaměnit i příslušné složky řešení
x
(prohození sloupců prohází složky řešení)
- princip stejný, akorát je třeba zaměnit i příslušné složky řešení
- GEM s pivotací je realizovatelná pro libovolnou regulární matici
A
Existence řešení
- soustava
Ax = b
má právě 1 řešení, když jeA
regulární- lineárně nezávislé řádky a sloupce
\det A \neq 0, \quad \forall \lambda \neq 0
Metoda LU-rozkladu
Spočívá v rozkladu matice A
na horní U
a dolní L
trojúhelníkovou matici.
- stejná přesnost i pracnost jako GEM
LU-rozklad
A
... regulární matice řádu N- lze rozložit na
A = LU
- lze rozložit na
L
... dolní trojúhelníková matice řádu NU
... horní trojúhelníková matice řádu N
LU-rozklad existuje, pokud lze provést pivotaci tak, aby se eliminovaly nuly na diagonále.
Jednoznačnost LU-rozkladu
- LU-rozklad není jednoznačný. Jednoznačnosti je možné dosáhnout tak, že si zvolíme diagonálu jedné z matic (např. do L dáme na diagonálu jedničky).
Řešení soustavy LU-metodou
- zadáno
A, b
, provedeme LU-rozklad:A = LU
- řešení trojúhelníkové soustavy:
Ly = b
- hledámy
- řešení trojúhelníkové soustavy:
Ux = y
- hledámx
Využití LU-metody
- když počítáme více soustav, kde se mění pouze pravá strana
b
- stačí provést pouze jeden LU-rozklad (náročný) a poté už jen několikrát opakovat řešení trojúhelníkových soustav (jednoduchý výpočet - výhoda oproti GEM)
- řešení maticových soustav
AX = B
- nedourčené soustavy - soustavy se singulární maticí
- máme méně rovnic než neznámých (dovyrobíme si další řádky)
Choleského rozklad
- speciální případ LU-rozkladu pro pozitivně definitní matice
- matici
A
rozložíme na součin dolní trojúhelníkové matice a její transpoziceA = L\cdot L^T
- symetrická a pozitivně definitní matice má vždy Chol. rozklad
- díky symetrii snížíme počet aritmetických operací na polovinu
- rozklad je jednoznačný, pokud jsou diagonální prvky
L
kladné
Stabilita LU-rozkladu
- obecně stabilní, pokud se provádí s pivotací (permutací řádků)
- bez pivotace může být nestabilní, pokud má matice
A
velmi malé nebo velké prvky - Chol. rozklad je numericky stabilní pro pozitivně definitní matice
Srovnání metod
GEM
- efektivní pro řešení soustav, na PC pro tisíce rovnic
- při změně pravé strany se musí celý výpočet opakovat
LU
- efektivní pro více pravých stran
Choleského
- méně náročná pro symetrické a pozitivně definitní matice
Přímé metody pro soustavy se speciální maticí
Symetrická matice
- používáme symetrickou verzi GEM a LU-rozkladu
A = LDL^T
-D
je diagonální matice- rozklad zachovává symetrii původní matice
- efektivnější, rychlejší a stabilnější než obecná LU-metoda
- symetrická + pozitivně definitní
- Choleského rozklad
Pásová matice
- řídká matice s nenulovými prvky kolem diagonály
- zachovávají se pozice nul (to v obecném případě neplatí)
- pásová + symetrická + pozitivně definitní
- Choleského rozklad
3-diagonální matice
- pásová matice, kde jsou nenulové prvky na 3 diagonálách
- metoda faktorizace
A \cdot Y = F
... soustavan+1
lineárních algebraických rovnic- přímý chod + zpětný chod