3.4 KiB
Určité integrály
Mějme uzavřený interval \langle a;b \rangle
, kde -\infty<a<b<+\infty
. Dělením intervalu \langle a;b \rangle
rozumíme konečnou posloupnost D = (x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n}), n \in \mathbb{N}
, bodů z intervalu \langle a;b \rangle
tak, že platí
$$
a = x_{0} < x_{1} < x_{2} < \dots < x_{n-1} < x_{n} = b
kde čísla x_i
jsou dělící body intervalu.
Integrální součty
- Horní integrální součet funkce
f
příslušný děleníD
je číslo\displaystyle s(f, D) = \sum_{i=1}^n \inf_{x \in \langle x_{i-1};x_{i} \rangle} f(x) \cdot \Delta x_{i}
. - Dolní integrální součet funkce
f
příslušný děleníD
je číslo\displaystyle S(f, D) = \sum_{i=1}^n \sup_{x \in \langle x_{i-1};x_{i} \rangle} f(x) \cdot \Delta x_{i}
.
Riemannovsky integrovatelná funkce
Mějme funkci f
, která je definovaná a omezená na uzavřeném intervalu \langle a;b \rangle
. Dále uvažujeme množinu \mathcal{D}
všech možných dělení D
tohoto intervalu \langle a;b\rangle
.
Řekneme, že funkce f
je (Riemannovsky) integrovatelná na intervalu \langle a;b\rangle
, pokud existuje číslo I \in \mathbb{R}
takové, že platí
$$
\displaystyle I = \sup s(f,D) = \inf S(f,D); D \in \mathcal{D}.
$$
Číslo I
potom nazýváme určitý integrál funkce f
na intervalu \langle a; b \rangle
a píšeme \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \, dx = I
.
Dále pro a>b
definujeme
$$
\int_{a}^b f(x) , dx = - \int_{b}^a f(x) , dx, \qquad \int _{a}^a f(x) , dx = 0.
Je-li funkce f
spojitá na intervalu \langle a;b \rangle
, potom je na tomto intervalu integrovatelná.
Newtonova-Leibnizova věta
Mějme funkci f
, která je Riemannovsky integrovatelná na intervalu \langle a;b \rangle
. Dále mějme funkci F
, která je spojitá na intervalu \langle a;b \rangle
a je primitivní funkcí k funkci f
na (a;b)
. Potom platí
$$
\displaystyle \int^b_{a} f(x) , dx = [F(x)]^b_{a} = F(b) - F(a).
Linearita určitého integrálu
Mějme funkce f, g
, které jsou integrovatelné na intervalu \langle a;b \rangle
. Potom platí:
\displaystyle\int^b_{a} (f(x) + g(x)) \, dx = \int_{a}^b f(x) \, dx + \int _{a}^b g(x) \, dx
\displaystyle\int_{a}^b cf(x) \, dx = c \int_{a}^b f(x) \, dx, \quad c \in \mathbb{R}
Aditivita určitého integrálu
Mějme funkci f
, která je integrovatelná na intervalu \langle a;b \rangle
. Pro libovolné c \in (a;b)
potom platí
$$
\int_{a}^b f(x) , dx = \int_{a}^c f(x) , dx + \int_{c}^b f(x) , dx
Per-partes
Mějme funkce u, v
, které jsou spojité na intervalu \langle a;b \rangle
a jejich derivace u', v'
jsou integrovatelné na tomto intervalu. Potom platí
$$
\int_{a}^b f(g(x))g'(x) , dx = \int_{g(a)}^g(b) f(y) , dy.
Věta o střední hodnotě
Je-li funkce f
spojitá a intervalu \langle a; b \rangle
, potom existuje \xi \in (a;b)
takové, že platí
$$
\int_{a}^{b} f(x) , dx = f(\xi) \cdot (b-a).
Nezápornost určitého intergálu
Mějme funkci f
, která je spojitá na intervalu \langle a; b \rangle
. Potom platí
$$
\forall , x \in \langle a; b \rangle : f(x) \geq 0 \quad \implies \quad \int_{a}^b f(x) , dx \geq 0.
Monotonie určitého integrálu
Mějte funkce f
a g
, které jsou spojité na intervalu \langle a; b \rangle
. Potom platí
$$
\forall , x \in \langle a; b \rangle : f(x) \leq g(x) \quad \implies \quad \int_{a}^b f(x) , dx \leq \int_{a}^b g(x) , dx