60 lines
2.8 KiB
Markdown
60 lines
2.8 KiB
Markdown
# Určité integrály
|
|
|
|
Mějme uzavřený interval $\langle a;b \rangle$, kde $-\infty<a<b<+\infty$. **Dělením intervalu** $\langle a;b \rangle$ rozumíme konečnou posloupnost $D = (x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n}), n \in \mathbb{N}$, bodů z intervalu $\langle a;b \rangle$ tak, že platí
|
|
$$
|
|
a = x_{0} < x_{1} < x_{2} < \dots < x_{n-1} < x_{n} = b
|
|
$$
|
|
|
|
kde čísla $x_i$ jsou **dělící body** intervalu.
|
|
|
|
### Integrální součty
|
|
|
|
1) **Horní integrální součet** funkce $f$ příslušný dělení $D$ je číslo $\displaystyle s(f, D) = \sum_{i=1}^n \inf_{x \in \langle x_{i-1};x_{i} \rangle} f(x) \cdot \Delta x_{i}$.
|
|
2) **Dolní integrální součet** funkce $f$ příslušný dělení $D$ je číslo $\displaystyle S(f, D) = \sum_{i=1}^n \sup_{x \in \langle x_{i-1};x_{i} \rangle} f(x) \cdot \Delta x_{i}$.
|
|
|
|
### Riemannovsky integrovatelná funkce
|
|
|
|
Mějme funkci $f$, která je definovaná a omezená na uzavřeném intervalu $\langle a;b \rangle$. Dále uvažujeme množinu $\mathcal{D}$ všech možných dělení $D$ tohoto intervalu $\langle a;b\rangle$.
|
|
|
|
Řekneme, že funkce $f$ je (**Riemannovsky**) **integrovatelná** na intervalu $\langle a;b\rangle$, pokud existuje číslo $I \in \mathbb{R}$ takové, že platí
|
|
$$
|
|
\displaystyle I = \sup s(f,D) = \inf S(f,D); D \in \mathcal{D}.
|
|
$$
|
|
Číslo $I$ potom nazýváme **určitý integrál** funkce $f$ na intervalu $\langle a; b \rangle$ a píšeme $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \, dx = I$.
|
|
|
|
Dále pro $a>b$ definujeme
|
|
$$
|
|
\int_{a}^b f(x) \, dx = - \int_{b}^a f(x) \, dx, \qquad \int _{a}^a f(x) \, dx = 0.
|
|
$$
|
|
|
|
Je-li funkce $f$ spojitá na intervalu $\langle a;b \rangle$, potom je na tomto intervalu integrovatelná.
|
|
|
|
#### Newtonova-Leibnizova věta
|
|
|
|
Mějme funkci $f$, která je Riemannovsky integrovatelná na intervalu $\langle a;b \rangle$. Dále mějme funkci $F$, která je spojitá na intervalu $\langle a;b \rangle$ a je primitivní funkcí k funkci $f$ na $(a;b)$. Potom platí
|
|
$$
|
|
\displaystyle \int^b_{a} f(x) \, dx = [F(x)]^b_{a} = F(b) - F(a).
|
|
$$
|
|
|
|
### Linearita určitého integrálu
|
|
|
|
Mějme funkce $f, g$, které jsou integrovatelné na intervalu $\langle a;b \rangle$. Potom platí:
|
|
1) $\displaystyle\int^b_{a} (f(x) + g(x)) \, dx = \int_{a}^b f(x) \, dx + \int _{a}^b g(x) \, dx$
|
|
2) $\displaystyle\int_{a}^b cf(x) \, dx = c \int_{a}^b f(x) \, dx, \quad c \in \mathbb{R}$
|
|
|
|
### Aditivita určitého integrálu
|
|
|
|
Mějme funkci $f$, která je integrovatelná na intervalu $\langle a;b \rangle$. Pro libovolné $c \in (a;b)$ potom platí
|
|
$$
|
|
\int_{a}^b f(x) \, dx = \int_{a}^c f(x) \, dx + \int_{c}^b f(x) \, dx
|
|
$$
|
|
|
|
### Per-partes
|
|
|
|
Mějme funkce $u, v$, které jsou spojité na intervalu $\langle a;b \rangle$ a jejich derivace $u', v'$ jsou integrovatelné na tomto intervalu. Potom platí
|
|
$$
|
|
\int_{a}^b f(g(x))g'(x) \, dx = \int_{g(a)}^g(b) f(y) \, dy.
|
|
$$
|
|
|
|
|
|
|