5.6 KiB
5.6 KiB
Formulujte následující tvrzení a věty
vlastnosti sčítání, násobení matic
- sčítání matic
- matice
A, B
- pouze matice stejného typu - sčítá se po prvcích =>
c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}
C = A + B
- odečítání analogicky
- matice
- násobení matic
- konstantou
- máme matici
A
a koeficientk \in \mathbb{C}
- každý prvek matice vynásobíme číslem k
c_{ij} = k * a_{ij}
- máme matici
- násobení dvou matic
C = A * B
:A
typu m/n,B
typu n/p- počet sloupců první matice se musí rovnat počtu řádků druhé matice
- skalární součin i-tého řádkového vektoru
A
a j-tého sloupcového vektoru $B$ - násobení matic není komutativní!
- výsledná matice typu m/p
- konstantou
Vietovy vzorce, věta o rozkladu polynomu na součin kořenových činitelů
-
Vietovy vzorce
- máme polynom proměnné x -
p(x)
a kořenyc_1, c_2, ..., c_n
polynomu p(x)a_{n-1} = -a_n(c_1, c_2, ..., c_n)
- máme polynom proměnné x -
-
věta o rozkladu polynomu na součin kořenových činitelů
- každý polynom lze vyjádřit jako:
p(x) = (x-c_1)(x-c_2)...(x-c_n)
c_1, c_2, ..., c_n
- kořeny polynomu p(x)
- každý polynom lze vyjádřit jako:
věta o lin. závislosti prvků
- prvky
v_1, v_2, ..., v_n
jsou LZ pokud se alespoň jeden z nich dá vyjádřit jako LK ostatních - každá podmnožina LN pvrků je LN
- každá nadmnožina LZ prvků je LZ
- LZ množina může obsahovat LN množinu
- množina s nulovým prvkem je LZ, {0} je LZ
věta o existenci báze, Steinitzova věta o výměně
-
věta o existenci báze
- v každém nenulovém konečně generovaném
L. V. P. \ \exist
alespoň jedna báze - báze nulového (triviálního)
L. V. P.
je {0}
- v každém nenulovém konečně generovaném
-
Steinitzova věta o výměně
- máme
L. V. P.
- V,M = \{g_1, g_2, ..., g_m\}
... generátory V,N = \{b_1, b_2, ..., b_n\}
... báze V dim (N) \leq dim (M)
- LZ prvky z
M
lze nahradit prvky zN
=>N
znovu generuje V
- máme
věta o souřadnicích prvků v bázi
- máme:
- V - nenulový, konečně generovaný
L. V. P.
B = \{\vec b_1, \vec b_2, ..., \vec b_n\}
uspořádaná báze V- koeficienty
c_1, c_2, ..., c_n \in R
\vec v \in V
- V - nenulový, konečně generovaný
- souřadnice prvku
\vec v
v báziB
je LK\vec v = c_1b_1 + c_2b_2 + ... + c_nb_n
- značí se
\widehat{\vec v_B} = [c_1, c_2, ..., c_n]^T
- je nutné dávat si pozor na pořadí!
- souřadnice součtu dvou prvků jsou součtem souřadnic těchto prvků
\widehat {(\vec v_1 + \vec v_2)} = \widehat {(\vec v_1)} + \widehat {(\vec v_2)}
- souřadnice
\lambda
- násobku jsou rovny\lambda
- násobku souřadnic tohoto prvku\widehat {(\lambda * \vec v)} = \lambda * \widehat {(\vec v)}
věta o rozvoji determinantu podle řádku
- máme:
A
- čtvercová matice řádu n,i \in \{1, 2, ..., n\}
- rozvoj podle $i$-tého řádku -
det(A) = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ... + a_{in}A_{in}
- věta platí analogicky i podle sloupce (
det(A) = det(A^T)
)
věty o elementárních úpravách determinantu
- elementární úpravy
- prohození dvou řádků matice
- vynásobení jednoho řádku matice (nenulovým číslem)
- přičtění k-násobku jednoho řádku k jinému
- pouze pro determinanty platí elementární úpravy i pro sloupce
- prohození dvou řádků
- matice
B
vznikne prohozením dvou řádkůA
det(B) = -det(A)
- má-li matice A dva stejné řádky / sloupce =>
det(A) = 0
- matice
- vynásobení číslem
- matice
B
vznikne vynásobením $i$-tého řádku číslemc
det(B) = c * det(A)
- má-li
A
nulový řádek / sloupec =>det(A) = 0
- matice
věta o stupňovitém tvaru matice
- pivot - první nenulový prvek na řádku
- matice je ve stupňovitém tvaru pokud:
- pro každý řádek platí:
- je-li pivot na pozici j => ve všech dalších řádcích je pivot na pozici
j' > j
- je-li pivot na pozici j => ve všech dalších řádcích je pivot na pozici
- je-li i-tý řádek nulový => další řádky nulové
- pro každý řádek platí:
věta o existenci inverzní matice
- inverzní matice
\exist
pouze pro regulární matice - inverzní matice je jednoznačně určena
věta o dimenzích jádra a obrazu lin. zobr
- Nechť
U, V
... lineární vektorové prostory a\mathbb{L}: U \rightarrow V
... lineární zobrazení- Ker(
\mathbb{L}
) ... podprostoremU
- Im(
\mathbb{L}
) ... podprostoremV
- Ker(
- dim(
U
) = dim(ker(\mathbb{L}
)) + dim(Im(\mathbb{L}
))
vlastnosti izomorfního zobrazení
- Nechť
U, V
... lineární vektorové prostory a\mathbb{L}: U \rightarrow V
... lineární zobrazení - izomorfní zobrazení:
\mathbb{L}: U \rightarrow V
- je prosté a zároveň "na"
- inverzní izomorfní zobrazení:
\mathbb{L}^{-1}: U \rightarrow V
je též izomorfní \mathbb{L}
je izoformizmus:- <=> Ker(
\mathbb{L}
) = {$0_U$} a zároveň Im(\mathbb{L}
) = V - <=> dim(
U
) = dim(V)
- <=> Ker(
- pokud je zobrazení izomorfní =>
x_1, x_2, ..., x_n \in U
jsou LZ pokud\mathbb{L}(x_1), (x_2), ..., (x_n) \in V
jsou LZ
vlastnosti matice přechodu
- nechť
C
,D
jsou dvě báze prostoruU
T
je matice přechodu od bázeD
k báziC
- => 1.
T
je regulární - => 2.
T_{\vec u_C} = \vec u_D \forall \vec u \in U
- => 3.
T^{-1}
... matice přechodu od bázeC
k báziD
- => 1.
Frobeniova podmínka řešitelnosti soustav
- máme soustavu rovnic (
A*x = b
) - soustava rovnic má 1 řešení pokud:
- hod(
A|b
) = hod(A
)
- hod(
- soustava nemá řešení pokud:
- hod(
A|b
)\neq
hod(A
)
- hod(
- soustava má nekonečně mnoho řešení pokud:
- hod(
A|b
)<
n (počet neznámých)
- hod(