1.5 KiB
1.5 KiB
Kružnice
Uzavřený sled v grafu G
je sled (v_{0}, \dots, v_{k})
, ve kterém platí v_{0} = v_{k}
.
Uzavřený tah v grafu G
je tah (v_{0}, \dots, v_{k})
, ve kterém platí v_{0}= v_{k}
.
Kružnice v grafu G
je uzavřený sled délky alespoň 3, ve kterém se vrchol v_{0}
objevuje právě dvakrát a každý ostatní vrchol grafu nejvýše jednou. Číslo k
je délka dané kružnice.
Prostor kružnic grafu
G = (V, E), \vert E\vert = m
- každému faktoru grafu
G
lze přiložit charakteristický vektorx \in \mathbb{Z}^m_{2}
Věta: Množina sudých faktorů (jejich char. vektorů) tvoří lineární podprostor vektorového prostoru \mathbb{Z}^m_{2}
.
Prostor kružnic \mathcal C(G)
neorientovaného grafu G
je lineární prostor sudých faktorů (charakteristických vektorů).
- ? báze, dimenze
\mathcal C(G)
, počet prvků\mathcal C(G)
(počet sudých faktorů)
Konstrukce báze \mathcal C(G)
- kostra grafu G ... T (lib. ale pevná)
- systém fundamentálních kružnic
- pro každou hranu e grafu G, která není na T vezmeme kružnici v T + e - fundamentální kružnice příslušného e vzhledem ke kostře T
- počet fund. kružnic
= m-n+1
\dim(\mathcal C(G)) = m-n+1
(G souvislý)
Věta: fundamentální kružnice tvoří bázi \mathcal C(G)
\dim(\mathcal C(G)) = m-n+1
(G souvislý)- počet prvků
\mathcal C(G)
= počet sudých faktorů G = počet podmnožin fundamentálních kružnic =2^{m-n+1}