2.5 KiB
Souvislost neorientovaného grafu
Graf G
je souvislý, pokud pro každé dva vrcholy x, y
existuje v grafu G
cesta z x
do y
. V opačném případě je graf G
nesouvislý.
Sled, cesta, tah
Sled (z vrcholu u
do vrcholu v
) v grafu G
je libovolná posloupnost (u = v_{0}, v_{1}, \dots, v_{k} = v
), kde v_{i}
jsou vrcholy grafu G
a pro každé i = 1, \dots, k
je v_{i-1}v_{i}
hranou grafu G
. Číslo k
je délka tohoto sledu. Říkáme, že sled prochází vrcholy v_{0}, \dots, v_{k}
nebo že na něm tyto vrcholy leží.
- Sled může procházet vícekrát stejným vrcholem i stejnou hranou.
Cesta z u
do v
v grafu G
je sled (u = v_{0}, v_{1}, \dots, v_{k} = v)
, ve kterém se každý vrchol v_{i}
objevuje pouze jednou.
Tah z u
do v
v grafu G
je sled (u = v_{0}, v_{1}, \dots, v_{k} = v)
, ve kterém se každá hrana objevuje pouze jednou.
Relace na množině vrcholů V(G)
- Relace
\sim
s předpisemu \sim v
, pokud v grafuG
existuje sled (sledová relace). - vlastnosti sledové relace
- a) reflexivní - triviální sled nulové délky
(u)
- b) symetrická
- c) tranzitivní - složením sledů získáme opět sled
- reflexivní a tranzitivní = ekvivalence - rozklad množiny
V(G)
na třídy ekvivalence
- reflexivní a tranzitivní = ekvivalence - rozklad množiny
- a) reflexivní - triviální sled nulové délky
Komponenta grafu
Komponenty grafu G
jsou všechny indukované podgrafy grafu G
na jednotlivých třídách ekvivalence \sim
.
- značí se
K
K
je maximální souvislý podgraf grafuG
- nejde jej rozšířit o další vrchol, nemá-li ztratit souvislost
Zjištění souvislosti grafu (komponenty grafu)
- lze využít Dijkstrův algoritmus
Vlastnosti
V každém souvislém grafu G
řádu n \geq 2
existují alespoň dva vrcholy x, y
takové, že G-x
i G-y
jsou souvislé.
- Souvislý graf vždy obsahuje vrchol, jehož odstraněním graf neztratí souvislost.
Důkaz
- Graf
G
je souvislý, tedy v něm existuje nějaká cesta. Vybereme nejdelší cestu vG
a označíme jiP
a její vrcholyu, v
. - Kdyby
G-u
nebyl souvislý, existoval by další soused vrcholuu
, napříkladz
. - Poté by byla cesta
z, u, \dots, v
byla delší než cestaP
, proto jeG-u
souvislý.
Je-li graf G
souvislý, potom m \geq n-1
.
- Počet hran v souvislém grafu je
\geq
počtu vrcholů - 1. - V souvislém grafu musí být cesta dlouhá
n
, na což je potřeban-1
hran.
Pokud n \geq 2
, pak v grafu G
existuje u, v \in V(G)
tak, že G-u
a G-v
jsou souvislé.