1.1 KiB
1.1 KiB
Stoneova věta
Příklad
- dvě Booleovy algebry
B
aC
- dělitelé 30, uspořádání delitelností,
X = \{ 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 \}
- systém podmnožin,
A = \{a, b, c\}
,(2^A, \leq)
- dělitelé 30, uspořádání delitelností,
f: 1 \to \emptyset, 2 \to a, 3 \to b, 5 \to c, 6 \to ab, 10 \to ac, 15 \to bc, 30 \to abc
Isomorfismus dvou Booleových algeber (X, \leq)
a (Y, \subseteq)
je zobrazení f: X \to Y
, které
- je bijekce (prosté i na),
- zachovává všechny operace (
\wedge, \vee, \overline{}, 0, 1
).
- pro
a, b \in X
platía \leq b
právě kdyžf(a) \subseteq f(b)
Tyto uspořádané množiny jsou isomorfní (psáno (X, \leq) \simeq (Y, \subseteq)
), pokud mezi nimi existuje isomorfismus.
Věta (Stone): Každá konečná Booleova algebra je izomorfní Booleově algebře (2^X, \leq)
pro nějakou množinu X
.
X = \text{At}(B)
- množina atomů
Důsledek: Každá Booleova algebra (B, \leq)
má 2^n
prvků, kde n =
počet atomů.
\implies
počet atomů= \log_{2}\vert B\vert
Důsledek: Každé dvě Booleovy algebry se stejným počtem prvků jsou izomorfní.
TODO: písání s. 49