1.2 KiB
1.2 KiB
Mirskyho a Dilworthova věta
Věta (Dilworthova)
- Nechť
\mathcal P = (X, P)
POSET a\text{width}(\mathcal P) = w
. - Pak existuje rozklad množiny
X, X = C_{1} \cup C_{2} \cup \dots \cup C_{w}
, kdeC_{i}, i = 1 \dots, w
je řetězec. - Navíc, neexistuje rozklad množiny
X
na méně nežw
řetězců.
Věta (Mirskyho, duální Dilworthova)
- Nechť
\mathcal P = (X, P)
POSET a\text{height}(\mathcal P) = h
. - Pak existuje rozklad množiny
X, X = A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{h}
, kdeA_{i}, i = 1\dots,h
je antiřetězec. - Navíc, neexistuje rozklad množiny
X
na méně nežh
antiřetězců.
Řetězce a antiřetězce
Mějme POSET (X, \leq)
, podmnožinu C \subseteq X
nazveme řetězcem (řetízkem), pokud platí, že každé 2 různé prvky x, y \in C
jsou porovnatelné.
Naopak podmnožinu A \subseteq X
nazveme antiřetězcem (antiřetízkem), pokud jsou každé 2 různé prvky x, y \in A
neporovatelné.
Výška POSETu
- označíme
\text{height}(\mathcal P)
, je největšíh
takové, že existuje řetězech
prvků v\mathcal P
Šířka POSETu
- označíme
\text{width}(\mathcal P)
, je největšíw
takové, že existuje antiřetězecw
prvků v\mathcal P