FAV-ZCU/KMA NM/Zkouška/02. okruh.md

Řešení nelineárních rovnic a jejich soustav. Metoda prosté iterace, podmínky konvergence, odhad chyby, rychlost konvergence. Newtonova metoda a její konvergence.

Nelineární rovnice

Formulace problému

• Je dána spojitá funkce f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} na intervalu \langle a,b \rangle.
• Hledáme kořen rovnice x \in \langle a,b\rangle takové, aby f(x) = 0.

Metody řešení

• startovací metody (vždy konvergují, ale většinou pomalu)
  • metoda bisekce (půlení intervalu)
  • metoda regula falsi
  • metoda prosté iterace
• zpřesňující metody (konvergují rychleji, vyžadují dobrý odhad počáteční hodnoty)
  • Newtonova metoda
  • metoda sečen
• speciální metody

Existence řešení

1. reálná funkce f je spojitá pro x \in \langle a,b\rangle
2. platí f(a) \cdot f(b) < 0, existuje tedy alespoň jedno řešení x rovnice f(x) = 0 na \langle a,b\rangle

Metoda prosté iterace (MPI)

Princip

• původní rovnici f(x) = 0 přepíšeme na tvar x = \varphi(x)
• to můžeme udělat spoustou způsobů
  • na volbě \varphi závisí konvergence a její rychlost

Algoritmus

1. zvolíme x_{0} \in \langle a,b\rangle a \epsilon > 0
2. x_{k+1} = \varphi(x_{k})
3. zastavovací podmínka: |x_{k+1}-x_{k}| < \epsilon, pak x = x_{k+1}
   • vzdálenost dvou po sobě jdoucích iterací
   • neříká nic o tom, jak jsme daleko od kořenu

Volba \varphi(x)

• závisí na ní konvergence a rychlost metody
• je vhodné, aby se fce \varphi(x) co nejvíce blížila konstantní funkci
  • rada: začít s největší možnou odmocninou
  • u polynomu to bude fungovat vždy, u jiných fcí dobrá rada

Postačující podmínky konvergence MPI

• funkce \varphi je spojitá na intervalu I = \langle a,b\rangle a platí
  1. funkce \varphi zobrazuje I do sebe
     • \forall x \in I : \varphi(x) \in I
  2. funkce \varphi je kontrakce
     • $\exists , q \in (0,1) : |\varphi(x)-\varphi(y)| \leq q|x-y| \quad \forall x,y \in I$e
     • tím si zajistíme, že každý další dílek je menší než ten předchozí
     • 2 po sobě jdoucí iterace jsou si k sobě čím dál blíž a blíž

1. v intervalu I existuje právě jeden kořen \alpha rovnice x = \varphi(x)
2. posloupnost \{x_{k}\}^\infty_{k=1} určená formulí x_{k} = \varphi(x_{k-1}) konverguje pro každé x_{0} \in I k přesnému řešení

• pozn: pokud by nebyla funkce spojitá, vůbec by nemusela projít skrz y = x

Rychlost konvergence MPI

• pokud je funkce diferencovatelná, lze pomocí Taylorova polynomu zjistit rychlost konvergence
• \varphi'(\alpha) \neq 0 \implies rychlost konvergence je řádu 1
• \varphi'(\alpha) = 0 a \varphi''(\alpha) \neq 0 \implies rychlost konvergence je řádu 2

Odhad chyby MPI

• chyba = vzdálenost mezi přesným a získaným řešením ... |x_{k} - \alpha|
• \displaystyle|x_{k}-\alpha| \leq \frac{q}{1-q}\epsilon
  • |x_{k} - x_{k-1}| = \epsilon
  • kvůli absolutní hodnotě nevíme z jaké strany od přesného řešení jsme
• chceme, aby chyba byla rovna zastavovací podmínce nebo menší
• čím menší q, tím menší bude chyba
  • je možné jej vypočítat derivací \varphi(x)

Newtonova metoda

Předpoklady

• v intervalu I = \langle a,b\rangle leží právě 1 jednoduchý kořen \hat{x} rovnice f(x) = 0
• máme zadáno x_{0} \in I
  • relativně blízko hledanému řešení - zpřesňující metoda
• musí existovat derivace f' funkce f

Postup

• uděláme Taylorův rozvoj funkce f v x_{0}
  • f(x) = f(x_{0}) + f'(x_{0})\cdot(x-x_{0}) + \frac{1}{2}f''(\xi)\cdot(x-x_{0})^2
• dosadíme do f(x) = 0
  • f(x_{0}) + f'(x_{0})\cdot(x-x_{0}) = 0
    • (x-x_{0}) - předpis pro tečnu
• vyjádříme x
  • \displaystyle x_{1} = x_{0} - \frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})}
  • \displaystyle x_{k+1} = k_{k} - \frac{f(x_{k})}{f'(x_{k})} ... iterační formule

Zastavovací podmínka

• dvě možnosti
• vzdálenost 2 po sobě jdoucích iterací (na ose x)
  • |x_{k+1}-x_{k}| < \epsilon
• velikost funkční hodnoty (na ose y)
  • |f(x_{k})| < \delta

Geometrický význam (metoda tečen)

• křivky y = f(x) nahradíme tečnou procházející bodem x_{k}
• hodnota x_{k+1} - průsečík tečny s osou x

Postačující podmínka konvergence

• derivace funkce v kořenu není nulová ... f'(x) \neq 0
• druhá derivace f'' nemění znaménko v I = \langle a,b\rangle
• prochází bodem x, kde f(x) = 0
  • f(a)\cdot f(b) < 0
• \displaystyle\left| \frac{f(a)}{f'(a)} \right| < b-a, \quad \left| \frac{f(b)}{f'(b)} \right| < b-a
• poté Newtonova metoda konverguje pro \forall \, x_{0} \in I

Rychlost konvergence

• konverguje obvykle rychleji než MPI
• rychlost konvergence závisí na \varphi'(\alpha) resp. \varphi''(\alpha)
• \varphi'(\alpha) = 0 a \varphi''(\alpha) \neq 0 \implies rychlost konvergence je řádu 2