FAV-ZCU/KMA NM/Zkouška/01. okruh.md

Základní pojmy. Matematický model, matematická úloha, korektní úloha, podmíněnost úlohy, číslo podmíněnosti, podmíněnost a stabilita algoritmu. Příklady.

Matematický model

Reálný problém popsaný matematickými veličinami a vztahy.

Matematická úloha

Mějme dány dvě množiny X (vstupní data) a Y (výstupní data). Předpokládejme, že X, Y jsou Banachovy prostory (úplné + normovaný). Úlohou rozumíme relaci y = U(x); \, x \in X_{i}; \, y \in Y.

Korektní úloha

• Úloha je korektní na dvojici prostorů (X,Y), když:
  • \forall \, x \in X \quad \exists! \, y \in Y: \quad y = U(x)
    • jedná se o zobrazení
  • \forall \, \{x_{n}\}: x_{n} \to x_{i} \cup (x_{n}) = y_{n} : y_{n} \to y = U(x)
    • řešení y spojitě závisí na vstupních datech

Pro řešitelné rovnice nám vyjde přesné řešení.

Pokud úloha nelze řešit, převedeme ji na numerickou úlohu.

Numerická úloha

• neznáme metodu pro nalezení přesného řešení, volíme přibližnou metodu
• problém např. musíme diskretizovat
• metoda býva nepřesná - chyba metody (chyba diskretizace)

Podmíněnost úlohy

Dobrá podmíněnost

• Úloha je dobře podmíněná, jestliže malá relativní změna na vstupu vyvolá malou relativní změnu řešení.

Číslo podmíněnosti

• vyjadřuje míru změny řešení při změně vstupu
• je-li C_{p} \approx 1, úloha je velmi dobře podmíněná
• v praxi hovoříme o špatně podmíněné úloze pro C_{p} \geq 100
• \displaystyle C_{p} = \frac{\frac{\Vert \Delta y\Vert}{\Vert y\Vert}}{\frac{\Vert \Delta x\Vert}{\Vert x\Vert}}
  • \displaystyle\frac{\Vert\Delta y\Vert}{\Vert y\Vert} = \frac{\vert U(\overline{x}+ \Delta x) - U(\overline{x}) \vert}{\vert U(\overline{x}) \vert}
  • horní část - relativní chyba na výstupu y
  • dolní část - relativní chyba na vstupu x

Stabilita a podmíněnost algoritmu

Stabilní algoritmus

• dobře podmíněný - málo citlivý na poruchy ve vstupních datech
• numericky stabilní - málo citlivý na vliv zaokrouhlovaných chyb

Nestabilní algoritmus

• relativně malé chyby v jednotlivých krocích se akumulují tak, že dojde ke katastrofální ztrátě přesnosti řešení

U stabilních metod roste chyba výsledku nejvýše lineárně.

• sčítáním a odčítáním můžeme ztratit hodně informací (desetinných míst) - to může vést k nestabilitě
• reziduum
  • r = b-A\overline{x}
  • míra chyby mezi přesným a přibližným řešením
  • vyjde nula, když dostaneme přesné řešení
• chyba
  • e = \overline{x} - x^*
  • rozdíl mezi přibližným a přesným výsledkem
• když se nám rapidně zvyšuje chyba, ale reziduum je stále blízké nule, tak se jedná o nestabilní algoritmus