2.9 KiB
Def.: matice vážených vzdáleností (w-distanční matice) ohodnoceného grafu otientovaného grafu (G, w), G = (V, E), V = \{ v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n} \}
je matice D^w(G)
řádu n, příčemž
D^w(G) = (d^w(v_{i},v_{j}))^n_{i,j=1}
Def.:
k \geq 0, k \in \mathbb{Z}
- cesta z
v_{i}
dov_{j}
je k-minimální, pokud její délka (nevážená) je nejvýše k a mezi všemi takovými cestami je minimální (tj. neexistuje cesta délky k s vahou menší)
Matice D_{k}
- matice, jejíž prvek d^k_{ij}
na pozici (i,j)
je roven váze k-minimální cesty z vrcholu v_{i}
do v_{j}
D_{n-1} = D^w(G)
protože každá cesta v G může obsahivat nejvýše n-1 hranD_{1} = d^1_{ij} \quad d^1_{ij} = \begin{cases} w(v_{i}, v_{j}) \quad (v_{i}, v_{j}) \in E \\ 0 \qquad \qquad v_{i} = v_{j} \\ \infty \qquad \qquad \text{jinak, tj. } (v_{i}, v_{j} \notin E) \end{cases}
Tvrzení:
D_{n-1} = D^w(G)
- matice
D_{k}
je k-tou mocninou maticeD_{1}
vzhledem k operacím+, \cdot
- pokud pro nějaké
q \geq 1
platíD_{q+1} = D_{q}
, pakD^w(G) = D_{q}
Tvrzení: nechť (G, w)
je ohodnocený neorientovaný graf
w: E \to R^*
d^w(x,y) \geq 0, d^w(x,y) = 0 \iff x = y
d^w(x, y) = d^{w'}(y, x)
d^w(x, y) + d^w(y, z) \geq d^w(x, z)
- tj.
d^w
je metrika na G
Eulerovské grafy
- existence tahu v G takového, že obsahuje všechny hrany G
- tah = sled, ve kterém se neopakují hrany
Def.: eulerovský tah v G je uzavřený tah obsahující všechny hrany G
- otevřený eulerovský tah je tak obsahující všechny hrany G
? existence eulerovských tahů ?
- eulerovský graf = graf s eulerovským tahem
Věta: G je souvislý, pak G je eulerovský \iff
každý vrchol má sudý stupeň v G
Hierholzerův algoritmus (G souvislý)
- najdu uzavřený tah M
- ? existuje hrana dotýkající se M (neobsažená v M)
- ano - prodluž M
- ne - eulerovský tah
Prostor kružnic grafu
G = (V, E), \vert E\vert = m
- každému faktoru grafu G lze přiložit charakteristický vektor
x \in \mathbb{Z}^m_{2}
Věta: množina sudých faktorů (jejich char. vektorů) tvoří lineární podprostor \mathbb{Z}^m_{2}
- prostor kružnic
\mathcal C(G)
neor. grafu G - lineární prostor sudých faktorů (char. vektorů) - ? báze, dimenze
\mathcal C(G)
, počet prvků $\mathcal C(G) (počet sudých faktorů)
Konstrukce báze \mathcal C(G)
- kostra grafu G ... T (lib. ale pevná)
- systém fundamentálních kružnic
- pro každou hranu e grafu G, která není na T vezmeme kružnici v T + e - fundamentální kružnice příslušného e vzhledem ke kostře T
- počet fund. kružnic
= m-n+1
\dim(\mathcal C(G)) = m-n+1
(G souvislý)
Věta: fundamentální kružnice tvoří bázi \mathcal C(G)
\dim(\mathcal C(G)) = m-n+1
(G souvislý)- počet prvků
\mathcal C(G)
= počet sudých faktorů G = počet podmnožin fundamentálních kružnic =2^{m-n+1}