7.3 KiB
7.3 KiB
Struktura B. algeber
X = \{a, ,b, c\}, (2^x, \leq)
- každá podmnožina X reprezentuje char. vektory
Věta (Sperner)
\displaystyle width(2^x) = {|x| \choose \lfloor\frac{|x|}{2}\rfloor}
- Pascalův tojúhelník
Direktní součin B. algebry
B_{1} = (B_{1}, \leq_{1}), B_{2} = (B_{2}, \leq_{2})
- direktní součin B. algeber
B_{1} \times B_{2}
se rovná algebraB = B_{1} \times B_{2} = (B_{1} \times b_{2}, \leq)
(a_{1}, a_{2}) \leq (b_{1}, b_{2}) \iff a_{1} \leq_{1} b_{1} \wedge a_{2} \leq_{2} b_{2}
- Př.:
B_{1} \quad B_{2}
B_{1} = \{0_{1}, 1_{1}\} \quad B_{2} = \{0_{2}, 1_{2}\}
B_{1} \times B_{2} = \{(0_{1}, 0_{2}), (0_{1}, 1_{2}), (1_{1}, 0_{2}), (1_{1}, 1_{2})\}
- Důsl.: Každá B. algebra B je izomorfní
B_{2}^n
, kde n = # atomů BB_{2}^2 = B_{2} \times B_{2}, B_{2}^3 = B_{2} \times B_{2} \times B_{2}
B_{2}^4
- hyperkrychle (4-rozměrná)
Booleovské funkce
f: B_{2}^n \to B_{2}^m \quad
omezíme se nam = 1
- speciální případ je výroková logika
- binární logické spojky, pravdivostní tabulka
p |
q |
p \wedge q |
p \vee q |
p \implies q |
p \iff q |
p + q |
---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
- kolik existuje B. fcí n proměnných?
x_{1}, x_{2} \dots x_{n} \qquad f(x_{1}, \dots, x_{n})
- # vstupů je
2^n
...2^{2^n}
- jaká je struktura B. fcí?
- množina všech B. fcí n proměnných ... Fn
- na Fn lze zavést uspořádání
F, g \in Fn
, definujemef \leq g \iff \forall \, x \in B_{2}^n \quad f(x) \leq g(x)
- porovnání v
B_{2}
- pokud
f \leq g
, pak řekneme, že f implikuje g
- Př.:
f \leq g
f \Vert h
jsou neporonatelné
x | y | f(x, y) | g(x, y) | h(x, y) |
---|---|---|---|---|
0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
- Množina Fn tvoří B. algebru
(f \wedge g)(x) = f(x) \wedge g(x)
(f \vee g)(x) = f(x) \vee g(x)
\overline f(x) = \overline{f(x)}
Booleovy polynomy
\wedge, \vee, \overline{}
- Def.: B. polynom v proměnných
x_{1}, \dots, x_{n}
0, 1, x_{1}, \dots, x_{n}
tvoří B. polynom- jsou-li p, q B. polynomy, pak
p \wedge q, p \vee q, \overline p
- jsou B. p.
- B. p. v proměnných
x_{1}, \dots, x_{n}
se rozumí každý výraz vytvořený konečným počtem aplikací těchto pravidel - Př.:
x_{1}, x_{2}, x_{3} : x_{1} \quad \overline{x_{3}} \wedge x_{1}
x_{2} \vee x_{3}
- Def.: literál proměnné
x_{i}
je B. p. rovnýx_{i}
nebo\overline{x_{i}}
- součinová (průseková) klauzule v proměnných
x_{1}, \dots, x_{n} \qquad \overline{x_{1}} \wedge x_{2} \wedge x_{7}
- součin (průsek) některých literálů proměnných
x_{1}, \dots, x_{n}
- součin (průsek) některých literálů proměnných
- součtová (spojová) klauzule
- součet (spojení)
\qquad x_{1} \vee \overline{x_{3}} \vee x_{5}
- součet (spojení)
- úplná součinová klauzule součinová klauzule obsahující literály všech proměnných
\overline{x_{1}} \wedge x_{2} \wedge x_{3}
x_{1} \wedge x_{2} \wedge \overline{x_{3}}
- úplná součtová klauzule součtová klauzule obsahující literály všech proměnných
x_{1} \vee \overline{x_{2}} \vee x_{3}
\wedge \to \cdot \qquad \overline{x_{1}} \wedge x_{2} \wedge x_{7} = \overline{x_{1}} x_{2} x_{3}
\wedge \to + \qquad x_{1} \wedge \overline{x_{3}} \wedge x_{5} = x_{1} + \overline{x_{3}} + x_{5}
- součtová (disjunktivní) forma
- pokud B. f. vyjádřená jako součet součinových klauzulí
- úplná součtová (disjunktivní) forma
- součet nějakých úplných součtových klauzulí
- součinová (konjuktivní) forma
- pokud B. f. vyjádřená jako součin součtových klauzulí
- úplná součinová (konjuktivní) forma
- součet nějakých úplných součinových klauzulí
- součinová (průseková) klauzule v proměnných
- Př.:
f(x_{1}, x_{2}, x_{3})
x_{1} \cdot x_{2} + x_{3} \quad
součtová (disj.) formax_{1} \cdot \overline{x_{2}} \cdot x_{3} + \overline{x_{1}} \cdot x_{2} \cdot \overline{x_{3}} \quad
úplná součtová (disj.) forma(\overline{x_{1}} + x_{2}) \cdot x_{3} \quad
součinová (konj.) forma(\overline{x_{1}} + \overline{x_{2}} + \overline{x_{3}}) \cdot (x_{1} + \overline{x_{2}} + x_{3}) \quad
úplná součinová (konj.) forma
Věta: Každá B. fce se dá vyjádřit pomocí B. polynomu
- Každá nekonstantní B. fce se dá vyjádřit pomocí ÚDNF nebo ÚKNF.
- Př.:
- ÚDNF:
\quad f(x, y, z) = \overline x y \overline z + \overline x y z + x y \overline z
- ÚKNF:
\quad f(x, y, z) = (x+y+z)(x+y+\overline z)(\overline x+y+z)(\overline x+y+\overline z)(\overline x+\overline y+\overline z)
- ÚDNF:
x | y | z | f(x, y, z) | ÚKD | ÚDK |
---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 0 | 0 | x + y + z |
|
0 | 0 | 1 | 0 | x + y + \overline z |
|
0 | 1 | 0 | 1 | \overline x \cdot y \cdot \overline z |
|
0 | 1 | 1 | 1 | \overline x \cdot y \cdot z |
|
1 | 0 | 0 | 0 | \overline x + y + z |
|
1 | 0 | 1 | 0 | \overline x + y + \overline z |
|
1 | 1 | 0 | 1 | x \cdot y \cdot \overline z |
|
1 | 1 | 1 | 0 | \overline x + \overline y + \overline z |
Minimalizace B. fcí
- minimální disjunktivní forma
- součet co nejmenšího počtu součinů
Quineho-McCluskeyho metoda
- Př.:
- ÚDNF:
\quad \overline x \overline y \overline z + \overline x \overline y z + x \overline y \overline z + x \overline y z + x y \overline z
- první dvojice:
\quad \overline x \overline y (\overline z + z) = \overline x \overline y
- druhá dvojice:
\quad (\overline x + x) \overline y \overline z = \overline y \overline z
- první dvojice:
- ÚDNF:
x | y | z | f(x, y, z) |
---|---|---|---|
0 | 0 | 0 | 1 |
0 | 0 | 1 | 1 |
0 | 1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 | 1 |
1 | 0 | 1 | 1 |
1 | 1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | 0 |
f(x, y, z) = x \overline z + \overline y
- ? vynechání některých součinů tak, že výsledek je stále roven funkci f
- f, p součin literálů je implikantem fce f, pokud
p \leq f
- implikant je prostý, pokud součin vzniklý odstraněním libovolného literálu z p přestane být implikantem f