FAV-ZCU/KMA LAA/Okruhy/Pojmy.md

Pojmy z LAA

inverzní matice, regulární a singulární matice

• inverzní matice

  • X je inverzní k A, jestliže platí A * X = X * A = I

• regulární matice

  • čtvercová matice

    vlastnost	výraz
    její hodnost se rovná jejímu řádu	hod(A) = n
    má nenulový determinant	\det{A} \neq 0
    existuje k ní inverzní matice	\text{existuje } A^{-1}

  • Každou regulární matici lze řádkovými elementárními úpravami převést na jednotkovou matici.

• singulární matice

  vlastnost	výraz
  její hodnost je menší než její řád	hod(A) < n
  má nulový determinant	\det{A} = 0
  neexistuje k ní inverzní matice	\text{neexistuje } A^{-1}

lineární, identické zobrazení, jádro, obraz, matice lineárního zobrazení a přechodu

• zobrazení (funkce) => množiny M do množiny N je předpis, kdy každému prvku z M je přiřazen právě jeden prvek z N

• lineární zobrazení (homomorfizmus)

  • máme L. V. P.: U, V
  • Zobrazení \mathbb{L} : U \rightarrow V je lineární zobrazení pokud \forall x, y \in U a \forall c \in \mathbb{R} platí:
    • 1. \mathbb{L}(x+y) = \mathbb{L}(x) + \mathbb{L}(y)
    • 2. \mathbb{L}(c*x) = c * \mathbb{L}(x)

• identické zobrazení

  • zobrazení \mathbb{F} pro které platí \mathbb{F}(x) = (x)

• jádro

  • Máme L. V. P.: U, V a linerní zobrazení \mathbb{L} : U \rightarrow V
  • jádro lineárního zobrazení \mathbb{L} je množina všech prvků x \in U takových, že \mathbb{L}(x) = 0_v:
    • Ker(\mathbb{L}) = \left \{ x \in U; \mathbb{L}(x) = 0_v\right \}

• obraz

  • Máme L. V. P.: U, V a linerní zobrazení \mathbb{L} : U \rightarrow V
  • obraz lineárního zobrazení \mathbb{L} je množina všech prvků y \in V takových, že \exists \space x \in U tak, že \mathbb{L}(x) = y:
    • Im \space \mathbb{L} = \{y \in V; \space \exists x \in U, \space \mathbb{L}(x) = y \}

• matice lineárního zobrazení

  • Máme L. V. P.: U, V a linerní zobrazení \mathbb{L} : U \rightarrow V
  • matice lineárního zobrazení je matice M pro kterou platí: \widehat{\mathbb{L}(u)} = M * \vec u
  • M = [$\widehat{\mathbb{L}(u_1)} \space\space \widehat{\mathbb{L}(u_2)} \space\space ... \space\space \widehat{\mathbb{L}(u_n)}$]

• matice přechodu

  • Máme L. V. P.: U, V a linerní zobrazení \mathbb{L} : U \rightarrow V
  • matice přechodu $T$ je matice pro kterou platí: T* \vec x_c = \widehat {I * \vec x_d}
  • matice přechodu T od báze D k bázi C

determinant matice, hodnost matice, algebraický doplněk matice

• determinant

  • Determinantem čtvercové matice A = [a_{ij}] řádu n nazveme číslo

  • \det(A) = \sum_{\pi}^{} zn(\pi)a_{1\pi(1)}a_{2\pi(2)}\dots a_{n\pi(n)}

  • kde sčítáme přes všechny permutace na množině \{1, 2, \dots, n\}.
  • součet všech permutací vzniklých z diagonálního řádku matice, kde sudá permutace je s kladným znaménkém a lichá se záporným
  • v součinu prvků v definici determinantu je z každého řádku a z každého sloupce vybrán právě jeden prvek

• hodnost matice

  • počet nenulových řádků / sloupců matice
  • dimenze lineárního obalu souboru řádků / sloupců matice
  • Je to číslo, které představuje maximální počet lineárně nezávislých řádků / sloupců matice.

• algebraický doplněk matice

  • Subdeterminant (minor) vzniklý z matice vynecháním $i$-tého řádku a $j$-tého sloupce.
  • (-1)^{i+j} * \det A[\cancel{i/j}]

polynom proměnné x

• polynom je funkce ve tvaru součtu násobků mocninných funkcí

• \displaystyle p(x) = \sum^n_{i=0} a_{i}x^i \ \ \forall x \in C, a_{n} \neq 0

• p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + . . . + a_{1}x + a_0 \ \ \ \forall x \in C, a_{n} \neq 0

vlastní číslo, vektor, spektrum matice

• vlastní číslo matice

  • máme čtvercovou matici - A, vlastní vektor matice A - \vec{u}, vlastní číslo matice A - \lambda
  • pro vlastní číslo musí platit: A * \vec u = λ * \vec u

• spektrum matice

  • Nechť A je čtvercová matice
  • soubor všech vlastních čísel matice A
  • značí se Sp(A)
    • např.: Sp(A) = \{3^2; -1\}

• vlastní vektor matice

  • Nechť A je čtvercová matice
  • nenulový vektor \vec u je vlastním vektorem matice A příslušnému vlastnímu číslu \lambda, jestliže A * \vec u = λ * \vec u