2.9 KiB
Polynomy
Nechť a_0, \dots , a_n
jsou komplexní čísla, n \geq 0
přirozené.
Polynomem (mnohočlenem) p
proměnné x
nazýváme předpis
p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + . . . + a_{1}x + a_0 \ \ \ \forall x \in C, a_{n} \neq 0
neboli
\displaystyle p(x) = \sum^n_{i=0} a_{i}x^i.
Hodnoty a_i
nazýváme koeficienty polynomu p(x)
.
Stupeň polynomu
Stupeň polynomu p(x)
je nejvyšší mocnina proměnné $x$ u níž je nenulový koeficient.
- značí se:
st(p(x))
Nulový polynom
Nulový polynom je polynom, který má všechny koeficienty rovny 0.
Operace s polynomy
-
Rovnost: $p(x) = q(x)$ $p(x) = 3x^2 - 8x + 6$
q(x) = 6 - 3x^2 - 8x + 6x^2
-
Opačný polynom: $-p(x)$ $p(x) = 3x^2 - 8x + 6$
-p(x) = -3x^2 + 8x - 6
-
Součet: $p(x) + q(x)$
p(x) + q(x) = 6x^2 - 16x + 12
-
Rozdíl: $p(x) - q(x)$
p(x) - q(x) = u(x) = o
-
k-násobek: $k \times p(x)$
-3 \times p(x) = -9x^2 + 24x - 18
-
Součin: $p(x) \times q(x)$
p(x) \times q(x) = 9x^4 - 48x^3 + 100x^2 - 96x + 36
-
Podíl: $\frac{p(x)}{q(x)}$ písemné dělení
Funkční hodnota v bodě
Hornerovo schématem, kde c
je požadovaná hodnota.
Kořen
Nechť p(x)
je polynom proměnné x
. Číslo c \in C
takové, že p(c) = 0
nazveme kořenem polynomu p(x)
.
Každý polynom stupně alespoň 1 má v C
alespoň jeden kořen.
Je-li c
kořenem polynomu p(x)
, pak p(x) = s(x) (x - c)
, kde st(s(x)) = st(p(x)) - 1
.
Komplexní rozklad na součin kořenových činitelů
Každý polynom p(x)
stupně n
lze vyjádřit ve tvaru p(x) = (x - c_1)(x - c_2)(x - c_3) \dots (x - c_n)
, kde c_1, c_2, \dots c_n
jsou všechny kořeny polynomu p(x)
.
Hodnoty c_1, c_2, \dots, c_n
nemusí být nutně navzájem různé. Každý polynom stupně n \ge 1
má v C
právě n
kořenů.
Reálný rozklad na součin kořenových činitelů
Sdružíme-li dvojice komplexně sdružených kořenů a následně jejich kořenové činitele roznásobíme, získáme reálný rozklad na součin kořenových činitelů.
Polynom p(x)
pak je ve tvaru
p(x)$ = $a_n(x-c_1)(x-c_2) \dots (x-c_k)(x^2+u_1x+v_1)(x^2+u_2x+v_2) \dots (x^2+u_mx+v_m),
kde c_1, c_2, \dots, c_k
jsou reálné kořeny polynomu p(x)
, b_1, \overline{b_1}, b_2, \overline{b_2}, \dots, b_m, \overline{b_m}
jsou všechny dvojice komplexně sdružených kořenů p(x)
a x^2 + u_ix + v_i = (x - b_i)(x - \overline{b_i})
.
Speciální typy polynomů
- binomické
x^n + a_0
- přes vzorcea^2 - b^2
,a^3 ± b^3
atd., nebo přes $n$-tou odmocninua_0
- reciproké
- platí, že
a_{n-i} = a_i
pro všechnai
, neboa_{n-i} = -a_i
pro všechnai
- kořeny ±1, substitucey = x + 1/x
- platí, že
- trinomické
a_{2k}x^{2k} + a_{k}x^k + a_{0}
- substituce typuy = x^k
Hornerovo schéma
- algoritmus pro zjištění funkční hodnoty polynomu
Popis algoritmu
- máme polynom proměnné x