FAV-ZCU/KFY FYI1/Zkouška/Inerciální a neinerciální soustavy.md

Inerciální a neinerciální soustavy

Jako první je nutné si představit dvě navzájem nezávislé soustavy S a S', ve kterých pozorujeme tentýž hmotný bod m.

• osy zůstávají rovnoběžné
• pohybují se vůči sobě

• z obrázku musí být proto vidět následující vztah pro průvodiče
  • \vec{r} = \vec{r}' + \vec{R}
• pokud rovnici zderivujeme podle času, dostaneme podobný vztah pro rychlosti
  • \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d\vec{r}'}{dt} + \frac{d\vec{R}}{dt}
  • \vec{v} = \vec{v}' + \vec{u}
    • \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} ... rychlost bodu v $S'$
    • \vec{v}' = \frac{d\vec{r}'}{dt} ... rychlost bodu v $S$
    • \vec{u} = \frac{d\vec{R}}{dt} ... unášivá rychlost
  • název unášivá proto, že bod je v S' v klidu, ale oproti S se pohybuje, je tedy unášen rychlostí S'
  • pokud tedy ještě zderivujeme vztah pro rychlosti, dostaneme zrychlení
    • \vec{a_{u}} = \frac{d\vec{u}}{dt}
    • \vec{a} = \vec{a}' + \vec{a_{u}}

Rovnoměrný přímočarý pohyb

Při tomto pohybu se soustavy vůči sobě pohybují rovnoměrně, tedy rychlost mezi nimi (unášivá rychlost) je konstantní.

• \vec{u} = \text{konst.}

Podle 1. NZ (zákon setrvačnosti) platí, že pokud se těleso pohybuje rovnoměrně přímočaře, jeho rychlost je konstantní.

• z toho vyplývá, že platí \vec{v}' = \vec{v}-\vec{u} = \text{konst.}
  • protože se rychlost nemění, unášivé zrychlení \vec{a_{u}} je nulové
• v druhé soustavě ($S'$) se těleso tedy také pohybuje rovnoměrně přímočaře
• inerciální soustavy - platí v nich zákon setrvačnosti

Pro převod souřadnic z jedné soustavy do druhé nám zde poslouží tzv. Galileovy transformace

• vyjádříme vektorovou rovnici z \vec{r}' = \vec{r} - \vec{R}
  • x' = x - R_{x}
  • y' = y - R_{y}
  • z' = z - R_{z}
• konstantní rychlost jako souřadnice \vec{u}
  • \vec{u} = (u_{x}, u_{y}, u_{z})
  • vyjádření dráhy: s = v\cdot t
• dosadíme za všechna R_{x,y,z} \implies vzniknou GT
  • x' = x - u_{x}\cdot t
  • y' = y - u_{y}\cdot t
  • z' = z - u_{z}\cdot t
• \vec{r}' = \vec{r} - \vec{u}\cdot t
• t = t'

V každé inerciální soustavě platí i 2. NZ (zákon síly) a pohybové rovnice jsou invariantní vůči Galileově transformaci.

Nerovnoměrně křivočarý pohyb

Unášivá rychlost mezi soustavami je v tomto pohybu proměnlivá a může měnit velikost, orientaci i směr a proto není konstantní.

• \vec{u} \neq \text{konst.}
• unášivé zrychlení \vec{a_{u}} už není nulové, protože se pohybujeme nerovnoměrně \vec{v}' = \vec{v} - \vec{u} \neq \text{konst.}
  • proto bude rozdíl ve zrychlení v první a druhé soustavě
  • \vec{a}' = \vec{a} - \vec{a_{u}}

Neplatí 1. NZ (zákon setrvačnosti), jedná se tedy o neinerciální soustavu.

Pohybová rovnice podle 2. NZ

• m\cdot \vec{a}' = m(\vec{a}-\vec{a_{u}}) = m\cdot \vec{a} - m\cdot \vec{a_{u}} = \vec{F} + \vec{F}^* = \vec{F}'
• není již invariantní
• objevuje se zde setrvačná síla
  • nutí těleso setrvávat v původním pohybu
  • F^* = -m \cdot \vec{a_{u}}

Zrychlení je možné rozdělit na dvě složky, normálovou a tečnou:

• \vec{a_{u}} = \vec{a_{t}} + \vec{a_{n}}

Vzorec pro celkovou setrvačnou sílu můžeme rozdělit:

• \vec{F}^* = -m(\vec{a_{t}} + \vec{a_{n}}) = -m\vec{a_{t}} - m\vec{a_{n}} = \vec{F_{n}^*} + \vec{F_{t}^*}
• dostáváme tak odstředivou sílu \vec{F}^*_{n} a Eulerovu (tečnou) sílu \vec{F}^*_{t}

Rotační pohyb

Pro vyjádření pohybové rovnice rotačního pohybu musíme kromě skutečné síly \vec{F}, která působí v původní inerciální soustavě, také započítat tři další síly.

Při rotaci tělesa se k odstředivé a Eulerově síle přidá třetí tzv. Coriolisova síla \vec{F}^*_{c}.

• \vec{F}_{c}^* = - 2m\cdot \vec{\omega} \cdot \vec{v}'
• objevuje se pouze v případě vlastního pohybu hmotného bodu v neinerciální soustavě takovou rychlostí, která není rovnoběžná s osou rotace

Celková síla při rotaci potom bude

• \vec{F} + \vec{F}^* + \vec{F}_{t}^* + \vec{F}^*_{n} = \vec{F}'