2.2 KiB
Řešení příkladů
Limita se zlomkem
\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left(\frac{2n^3+3n}{3n^3+n^2}\right) = \frac{2}{3}
- Ve jmenovateli i čitateli jsou nejvyšší mocniny
n^astejné (zden^3), proto se limita bude rovnat koeficientům před nimi ve zlomku.
\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left(\frac{3n^2 + n}{5n - 4}\right) = +\infty
- Pokud je v čitateli vyšší mocnina
n^anež ve jmenovateli, je limita+\infty.
\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left(\frac{2n^3 + n^2}{9n^4 - 2n}\right) = 0
- Pokud je ve jmenovateli vyšší mocnina
n^anež v čitateli, je limita0.
\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left( \frac{n^2}{n+3} - \frac{n^2}{n+2} \right) = \lim_{ n \to \infty } \left( \frac{n^3+2n^2-n^3-3n^2}{(n+3)(n+2)} \right) = \dots
- Pokud jsou v limitě dva zlomky, které po dosazení vyjdou jako neurčitý výraz, je potřeba je roznásobit.
Limita s odmocninou
\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left(\sqrt{ n+1 } - \sqrt{ n }\right) = \lim_{ n \to \infty } \left(\frac{n+1-n}{\sqrt{ n+1 } + \sqrt{ n }}\right) = 0
- Vynásobíme
\displaystyle\frac{\sqrt{ n+1 } + \sqrt{ n }}{\sqrt{ n+1 } + \sqrt{ n }}, čímž získáme\frac{n+1-n}{\sqrt{ n+1 } + \sqrt{ n }}. (Využití vzorečku(a-b)(a+b) = a^2+b^2.)
Limita s Eulerovým číslem
\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{n+5} \right)^{n-3} = e
- Hodnota před
nje stejná jak ve jmenovateli, tak v mocnině, limita je tedye^1(na číslo v čitateli zlomku).
\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left( 1 + \frac{-1}{n+9} \right)^{7n} = \lim_{ n \to \infty } \left( 1 + \frac{-7}{7n+63} \right)^{7n} = e^{-7}
- Hodnota před
nnení ve jmenovateli a v mocnině stejná, proto musím zlomek vynásobit vhodným číslem, aby tato rovnost platila, v tomto případě číslem7.
\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left( 1+\frac{9}{n^2} \right)^{7-5n^3} = e^{\frac{n^2}{-n^3}} = 0
- Každé
nje umocněno jiným číslem, proto výsledek zapíšu jakoeumocněné na\displaystyle\frac{\text{jmenovatel}}{\text{mocnina}}a tento výraz dále upravuji.