4.3 KiB
Př. 1: Uvažujme lineární prostor \mathbb{Z}_{2}^5
(množina pětic tvořených z 0 a 1). Slova předpokládáme jako x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} x_{5}
.
- všechna slova splňující podmínku
x_{2} + x_{3} = x_{5}
- nulový prvek
00000
- platíx_{2} + x_{3} = 0 + 0 = 0 = x_{5}
- sčítání - platí
x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} x_{5} \quad x_{2} + x_{3} = x_{5}
y_{1} y_{2} y_{3} y_{4} y_{5} \quad y_{2} + y_{3} = y_{5}
(x_{1}+y_{1}) (x_{2}+y_{2}) (x_{3}+y_{3}) (x_{4}+y_{4}) (x_{5}+y_{5})
(x_{2}+y_{2}) + (x_{3}+y_{3}) \,?\, (x_{5}+y_{5})
L = x_{2}+y_{2}+x_{3}+y_{3} = (x_{2}+y_{2})+(x_{3}+y_{3}) = x_{5}+y_{5}
- nulový prvek
- všechna slova splňující podmínku
x_{2} + x_{3} = 1
- nulový prvek
00000
- neplatí! - není lineární kód
- nulový prvek
- všechna slova s méně než třemi 1
- sčítání - neplatí
11000
00110
11110
(nepatří)
- sčítání - neplatí
Př. 2: Pro lineární kód 1 určíme dimenzi, bázi, kontrolní rovnici a generující i kódovou matici.
- dimenze = 4
x_{5}
je zabezpečovací prvek- zbytek prvků (4) je informační
- báze
- kanonická báze
- poté dopočítám poslední prvek
[10000]^T
[01001]^T
[00101]^T
[00010]^T
- kontrolní rovnice
x_{2} + x_{3} + x_{5} = 0
- přičtu
x_{5}
, protože v těleseZ_{2}
je to jako odčítání
- generující matice
G = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}
- kódová matice
- pokud
G = [I_{k} | B]
, takH = [-B^T | I_{n-k}]
H = [01101]
- pokud
Př. 3: Těleso Z_{5}
.
sčítací tabulka
+ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 0 |
2 | 2 | 3 | 4 | 0 | 1 |
3 | 3 | 4 | 0 | 1 | 2 |
4 | 4 | 0 | 1 | 2 | 3 |
násobící tabulka
* | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
2 | 0 | 2 | 4 | 1 | 3 |
3 | 0 | 3 | 1 | 4 | 2 |
4 | 0 | 4 | 3 | 2 | 1 |
opačné prvky:
-1 = 4
-2 = 3
-3 = 2
-4 = 1
-0 = 0
převrácené prvky:
1^{-1} = 1
2^{-1} = 3
3^{-1} = 2
4^{-1} = 4
Př. 4: Rozhodněte, zda tato matice může být generující maticí lineárního kódu.
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 4 & 1 & 1 & 1 \
2 & 4 & 0 & 0 & 1 \
0 & 2 & 1 & 1 & 0
\end{bmatrix} \begin{array}{l}
\ + \space 3\cdot(1) \ \
\end{array} \sim \begin{bmatrix}
1 & 4 & 1 & 1 & 1 \
0 & 1 & 3 & 3 & 4 \
0 & 2 & 1 & 1 & 0
\end{bmatrix} \begin{array}{l}
\ \ + \space 3\cdot(2)
\end{array} \sim \begin{bmatrix}
1 & 4 & 1 & 1 & 1 \
0 & 1 & 3 & 3 & 4 \
0 & 0 & 0 & 0 & 2
\end{bmatrix}
Lineárně nezávislé (pivotové) sloupce: první, druhý a pátý
Kolik bude mít kód značek? 5^3
[000\dots]
[001\dots]
[002\dots]
\vdots
[444\dots]
Závěr:
- matice bude generovat lineární kód, ale nebude systematický
- pro nalezení systematického kódu je potřeba provést permutaci sloupců
A' = [A_{1}A_{2}A_{5}A_{3}A_{4}]
- v této matici provedeme GJEM a dostaneme se k systematickému tvaru generující matice
$$ A' = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 1 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 4 & 3 & 3 \ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{array}{l}
- \space (2) \ + \space 3 \cdot (3) \ \cdot \space 3
\end{array} \sim \left[\begin{array}{ccc:cc}
1 & 0 & 0 & 4 & 4 \
0 & 1 & 0 & 3 & 3 \
0 & 0 & 1 & 0 & 0
\end{array}\right] = G'
$$
H' = \left[\begin{array}{ccc:cc}
1 & 2 & 0 & 1 & 0 \
1 & 2 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]
Př. 5: Těleso Z_{3}
.
$$
G = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \
0 & 1 & 1 & 1 & 1 \
1 & 1 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
Určete kontrolní rovnice a kontrolní matici.
Kontrolní matice
- předpokládáme obecný řádek kontrolní matice
[h_{1} h_{2} h_{3} h_{4} h_{5}]
h_{1} + h_{2} + h_{3} + h_{4} + h_{5} = 0
h_{2} + h_{3} + h_{4} + h_{5} = 0
h_{1} + h_{2} = 0
- dosadíme řádek do řádku
h_{3} + h_{4} + h_{5} = 0
h_{3} = - h_{4} - h_{5}
h_{3} + 2h_{4} + 2h_{5}
$$
H = \left[\begin{array}{ccc:cc}
0 & 0 & 1 & 1 & 0 \
0 & 0 & 2 & 0 & 1
\end{array}\right]
sloupce v matici H
jsou h_{1}, h_{2}, h_{3}, h_{4}, h_{5}
Kontrolní rovnice
2v_{3} + v_{4} = 0
2v_{3} + v_{5} = 0