106 lines
No EOL
4.6 KiB
Markdown
106 lines
No EOL
4.6 KiB
Markdown
# Posloupnosti
|
|
|
|
## Zadání
|
|
|
|
| typ | příklad |
|
|
| ----------------------- | ------------------------------------------------------ |
|
|
| explicitní | $a_n = 2n$ |
|
|
| implicitní (rekurentní) | $\begin{cases} a_{n+1} = a_n + 2\\ a_1 = 1\end{cases}$ |
|
|
|
|
## Omezenost
|
|
|
|
Posloupnost $(a_n)$ s oborem hodnot $H$ je omezená (zdola, shora), je-li množina $H$ omezená (zdola, shora).
|
|
|
|
| značení | typ | příklad |
|
|
| ------- | ----------------------- | --------- |
|
|
| **O** | omezená (shora i zdola) | $(-1)^n$ |
|
|
| **OS** | omezená shora | $4-n$ |
|
|
| **OZ** | omezená zdola | $(n-8)^2$ |
|
|
|
|
### Minimum, maximum, infimum a supremum
|
|
|
|
Minimem (max, inf, sup) posloupnosti $(a_n)$ s oborem hodnot $H$ je minimem (max, inf, sup) množiny $H$
|
|
|
|
## Monotonie
|
|
|
|
Řekněme, že $(a_n)$ je
|
|
|
|
| značka | typ | podmínka |
|
|
| ------ | --------------- | ------------------------------------------------------------- |
|
|
| **R** | rostoucí | $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \ \ \ a_{n+1} >= a_n$ |
|
|
| **K** | klesající | $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \ \ \ a_{n+1} <= a_n$ |
|
|
| **OR** | ostře rostoucí | $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \ \ \ a_{n+1} > a_n$ |
|
|
| **OK** | ostře klesající | $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \ \ \ a_{n+1} < a_n$ |
|
|
| **M** | monotónní | je klesající nebo rostoucí |
|
|
| **OM** | ostře monotónní | je ostře klesající nebo ostře rostoucí |
|
|
|
|
#### Zjištění monotonie
|
|
1) Tipnu a ověřím
|
|
2) Otazníčková metoda
|
|
|
|
## Limita
|
|
|
|
### Vlastní limita
|
|
|
|
Posloupnost $(a_n)$ má vlastní limitu $a \in R$, pokud
|
|
$\displaystyle \forall \epsilon \in R > 0 \ \ \ \exists n_{0} \in N \ \ \ \forall n \in N : n > n_{0} \implies |a_{n} - a| < \epsilon$
|
|
|
|
Píšeme $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = a$ nebo $a_{n} \to a$
|
|
|
|
Pozn.: $a - \epsilon < a_{n} < a + \epsilon$
|
|
- Pro jakoukoli šířku pásma existuje standardní hodnota, všechna následující $n$ mají $a_n$ uvnitř $\epsilon$-pásem
|
|
|
|
### Nevlastní limita
|
|
|
|
Posloupnost $(a_n)$ má nevlastní limitu $+\infty$, pokud
|
|
|
|
$\displaystyle \forall h > 0 \ \ \ \exists n_{0} \ \ \ \forall n \in N : n > n_{0} \implies a_{n} > h$
|
|
|
|
$\displaystyle \forall d < 0 \ \ \ \exists n_{0} \ \ \ \forall n \in N : n > n_{0} \implies a_{n} < d$
|
|
|
|
Píšeme
|
|
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = +\infty$ nebo $a_{n} \to +\infty$
|
|
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = -\infty$ nebo $a_{n} \to -\infty$
|
|
|
|
### Jednoznačnost limity
|
|
|
|
Každá posloupnost má nejvýše 1 limitu
|
|
|
|
### Algebra vlastních limit
|
|
|
|
Nechť $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = a$ a $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } b_{n} = b$, pak
|
|
1) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (\alpha \times a_{n} + \beta \times b_{n}) = \alpha \times a + \beta \times b$, pokud je pravá strana definována,
|
|
|
|
2) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (a_{n} \times b_{n}) = a \times b$, pokud je pravá strana definována,
|
|
|
|
3) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (\frac{a_{n}}{b_{n}}) = \frac{a}{b}$, pokud $b_{n} \neq 0$ pro všechna $n \in N$ a pokud je pravá strana definována
|
|
|
|
### Eulerovo číslo
|
|
|
|
- je definováno jako $\displaystyle e := \lim_{ n \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$ = |"NV $1^\infty$"|
|
|
- alternativní definice: $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$
|
|
|
|
## Konvergence a divergence
|
|
|
|
Řekněme, že $(a_n)$ je
|
|
|
|
| značka | typ | podmínka |
|
|
| ------ | ----------------------- | -------------------------------- |
|
|
| **K** | konvergentní | má-li vlastní / konečnou limitu |
|
|
| **D** | divergentní | není-li konvergentní |
|
|
| | divergentní k $+\infty$ | má-li nevlastní limitu $+\infty$ |
|
|
| | divergentní k $-\infty$ | má-li nevlastní limitu $-\infty$ |
|
|
|
|
### Omezenost a limity
|
|
1) Je-li posloupnost konvergentní (**K**), pak je i omezená (**O**)
|
|
|
|
2) Diverguje-li posloupnost k $+\infty$, pak je omezená pouze zdola (**OZ**)
|
|
|
|
3) Diverguje-li posloupnost k $-\infty$, pak je omezená pouze shora (**OS**)
|
|
|
|
Dále také
|
|
1) Je-li $(a_n)$ monotónní (**M**) a omezená (**O**), pak je i konvergentní (**K**)
|
|
|
|
2) Je-li $(a_n)$ rostoucí (**R**) a omezená (**O**), pak $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = sup \ a_{n}$ a $min \ a_{n} = a_{1}$
|
|
|
|
3) Je-li $(a_n)$ klesající (**K**) a omezená (**O**), pak $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = inf \ a_{n}$ a $max \ a_{n} = a_{1}$ |