6.3 KiB
Diferenční rovnice a jejich soustavy
homogenní diferenční rovnice - lineární
h_n = h(n)
h_{n} - a_{n-1}h_{n-1}-a_{n-2}h_{n-2}-\dots-a_{n-k}h_{n-k} = 0
... řáduk
- trik:
$$
\begin{matrix}
h_{n-1} = h_{n-1} \
\vdots \
h_{n-k+1} = h_{n-k+1}
\end{matrix}
$$
F_{n} = \begin{bmatrix}
h_{n} \
h_{n-1} \
\vdots \
h_{n-k+1}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
a_{n-1} & a_{n-2} & a_{n-3} & \dots & a_{n-k} \
1 & 0 & 0 & \dots & 0 \
0 & 1 & 0 & \dots & 0 \
0 & \dots & 0 & 1 & 0
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
h_{n-1} \
\vdots \
h_{n-k}
\end{bmatrix}
\det(A - \lambda I) = 0 \dots \text{ char. polynom}
(A je velká matice nahoře)\lambda^n - a_{n-1}\lambda^{n-1} - a_{n-2}\lambda^{n-2} - \dots - a_{n-k}\lambda^{n-k} = 0
- kořeny vl. č. matice ...
\lambda^k - a_{n-1}\lambda^{k-1} - a_{n-2}\lambda^{k-2} - \dots - a_{n-k} = 0
- vl. č. jsou vzájemně různá
\lambda_{1}, \lambda_{2}, \dots, \lambda_{k}
- pak obecné řešení reálných rovnic
h_{n} = c_{1}\lambda^n_{1} + c_{2}\lambda^n_{2} + \dots + c_{k}\lambda^n_{k}, c_{i} \in \mathbb{R}
- příklad
h_{n} = 2h_{n-1} + 2h_{n-2} - 2h_{n-3} \quad (n \geq 3)
počáteční podmínkyh_{0} = 1, h_{1} = 2, h_{2} = 0
- charakteristická rovnice
\lambda^3 - 2\lambda^2 - \lambda + 2
\lambda_{1} = 1, \lambda_{2} = -1, \lambda_{3} = 2
- obecné řešení:
h_{n} = c_{1} 1^n + c_{2}(-1)^n + c_{3}2^n
- dosadím
n = 0 : h_{0} = 1 = c_{1} + c_{2} + c_{3}
n = 1 : h_{1} = 2 = \dots
n = 2 : h_{2} = 0 = \dots
h_{n} = 2 - \frac{2}{3}(-1)^n - \frac{1}{3}2^n
- předp. kořen
\lambda_{i}
má násobnosts_{i}
\lambda_{i}^n, n \cdot \lambda_{i}^n, \dots, n^{s_{i}-1} \cdot \lambda_{i}^n
c_{i_{1}}\lambda^n_{i} + c_{i_{2}}n\lambda^n_{i} + \dots + c_{i_{s_{i}}}n\lambda^n_{i} = (c_{i_{1}} + c_{i_{2}}n + \dots + c_{i_{s_{i}}}n^{s_{i}-1}) \lambda_{i}^n
- příklad
h_{n} = -h_{n-1} + 3h_{n-3} + 2h_{n-4}, n \geq 4
- poč. podmínky:
h_{0} = 1, h_{1}=0, h_{2} = 1, h_{3} = 2
\lambda^4 + \lambda^3 - 3\lambda^2 - 5\lambda - 2 = 0
... kořeny -1, -1, -1, 2- obecné řešení:
h_{n} = (c_{1} + c_{2}n + c_{3}n^2) \cdot (-1)^n + c_{4}2^n
- pro poč. podmínky:
h_{n} = \frac{7}{9}(-1)^n - \frac{3}{9}n(-1)^n + \frac{2}{9}2^n
Počet rozkladů n-prvkové množiny
počet prvků rozkladu k
# všech takových rozkladů (# je počet)
S(n,k) \quad |x| = n
k = n \quad S(n,n) = 1, S(n,1) = 1
S(n,k) = S(n-1, k-1) + k \cdot S(n-1, k)
Stirlingova čísla (2. druhu)
Asymptotický růst fcí
\displaystyle x \to \infty \quad \lim_{ x \to \infty } \frac{e^x}{x} = \infty
\displaystyle x^2, x^3, \dots, x^n, \dots, \lim_{ x \to \infty } \frac{e^x}{x^n} = \infty
Bachmannovy-Landavovy-(Knothovy) symboly
g(x) > 0
O(g(x)) = \{ h(x) \mid \exists \, c > 0 \space \exists \, x_{0} : \forall \, x > x_{0} : 0 \leq h(x) \leq c \cdot g(x) \}
- Big-Oh
f(x) = O(g(x))
x^n = 0(e^x)
e^x = O(2^x) \quad a^x = e^{x \ln a} = e^x \cdot e^{\ln a}
n! \leq n^n \quad n! = 0(n^n)
Modulární počítání
a, b \in \mathbb{Z} \quad gcd(a,b) \quad nsd(a,b)
Eukleidův algoritmus
a-b
d | a \wedge d | b \implies d | (a-b)
a = q \cdot b + r, 0 \leq r < b
r = a-q \cdot b \qquad d | a \wedge d | b \implies d | r \qquad gcd(a,b) = gcd(b,r)
57 = 2 \cdot 25 + 7 \qquad gcd(57, 25) = gcd(25, 7)
25 = 3 \cdot 7 + 4 \qquad = gcd(7, 4) = 1
7 = 1 \cdot 4 + 3
4 = 1 \cdot 3 + 1 \qquad = gcd(57, 25)
1 = 4 - 1 \cdot 3
= 4 - 1 \cdot (7 - 1 \cdot 4) = 2 \cdot 4 - 7
= 2 \cdot (25 - 3 \cdot 7) - 7 = 2 \cdot 25 - 7 \cdot 7
= 16 \cdot 25 - 7 \cdot 57
\implies \exists \, \alpha, \beta \in \mathbb{R} : gcd(a,b) = \alpha \cdot a + \beta \cdot b
Věta
- Mějme
a, b \in \mathbb{Z}
(ne obě nulová), pak\gcd(a,b)
je roven nejmenšímu kladnému číslu tvaru\alpha \cdot a + \beta \cdot b
pro\alpha, \beta \in \mathbb{Z}
. - Dk:
D = \alpha \cdot a + \beta \cdot b, \alpha, \beta \in \mathbb{Z}
nejmenší kladné číslo na množině čísel- nechť
d|a
ad|b
, pakd|D
a = k \cdot d \qquad b = l \cdot d \qquad D = \alpha \cdot k \cdot d + \beta \cdot l \cdot d
- zbytek po dělení čísla a číslem D je nulový
- platí
a = q D + r, O \leq r < D
O \leq r = a - qD = a - q(\alpha \cdot a + \beta \cdot b) = (1-q\cdot\alpha)\cdot a - q \cdot \beta \cdot b
\implies r= 0
- platí
- nechť
\mathbb{Z}
množina všech celých čísel
n \geq 2, \quad n \in \mathbb{N}
n = 3 \quad
možné zbytky0, 1, 2
\mathbb{Z}_{3}(0) = \{ \dots, -3, 0, 3, \dots \}
\mathbb{Z}_{3}(1) = \{ \dots, -2, 1, 4, \dots \}
\mathbb{Z}_{3}(2) = \{ \dots, -1, 2, 5, \dots \}
x, y \in \mathbb{Z} \quad x \equiv y \quad
(modn
)x
je kongurentní sy
modulon
(např. 3)- relace kongurence je ekvivalence
- reflexivní:
x \equiv x
(mod n), symetrickáx \equiv y
(mod n)\implies y \equiv x
(mod n) - tranzitivita:
x \equiv y
(mod n)\wedge y\equiv 2
(mod n)\implies x \equiv 2
(mod n)
- reflexivní:
Lemma
x, y \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}, x \in \mathbb{Z}_{n}(i), y \in \mathbb{Z}(j)
, pakx \cdot z \in \mathbb{Z}_{n}(i\cdot j) \qquad x \cdot y = (i + kn) \cdot (j + ln) = ij + n(kj + il) + kln^2
x + y \in \mathbb{Z}_{n}(i+j) \qquad x + y = i + j + n(k + l)
- Dk:
x = i + kn, y = j + ln
n \in \mathbb{N} \quad \mathbb{Z}_{n} = \{ \mathbb{Z}_{n}(0), \mathbb{Z}_{n}(1), \dots, \mathbb{Z}_{n}(n-1) \}
(\mathbb{Z}_{n}, +, \times)
\mathbb{Z}_{n}(i) + \mathbb{Z}_{n}(j) = \mathbb{Z}_{n}(i + j)
\mathbb{Z}_{n}(i) \times \mathbb{Z}_{n}(j) = \mathbb{Z}_{n}(ij)
\mathbb{Z}_{4}(3) \to 3
\mathbb{Z}_{4}(3) + \mathbb{Z}_{4}(2) = \mathbb{Z}_{4}(1) \to 3 + 2 \to 3 + 2 \mod 4 = 1
n = 3
+ |
0 | 1 | 2 |
---|---|---|---|
0 | 0 | 1 | 2 |
1 | 1 | 2 | 0 |
2 | 2 | 0 | 1 |
\cdot |
0 | 1 | 2 |
---|---|---|---|
0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 2 |
2 | 0 | 2 | 1 |
- aritmetika modulo
n
- inverzní prvek
a \neq 0 \quad a \cdot a^{-1} = 1
1^{-1} = 1
2^{-1} = 2
opačný prvek $\qquad a + (-a) = 0 \qquad (-1) + 1 = 0$
nulový prvek 0 \qquad -1 = 2 \quad -2 = 1
\mathbb{Z}_{3}
vždy existuje inverzní prvek \forall \, x \in \mathbb{Z}_{3}, x \neq 0