4.8 KiB
4.8 KiB
Funkce
- definována
- funkčním předpisem (
f(x) = x^2
) - definičním oborem (
D_{f} = \mathbb{R}
)
- funkčním předpisem (
Definiční obor D_{f}
- všechny hodnoty, kterých může funkce nabývat na ose X
- je možné jím funkci omezit (např.:
D_{f} = (0, 1)
) - zjišťuje se hledáním definičních oborů jiných funkcí nebo operací (např.:
\sqrt{ -2 }
nebo\frac{1}{0}
)
Obor hodnot H_{f}
- všechny hodnoty, kterých může funkce nabývat na ose Y
Monotonie funkce
značka | typ | podmínka |
---|---|---|
R | rostoucí | \displaystyle \forall x,y \in D_{f} : x < y \implies f(x) \leq f(y) |
K | klesající | \displaystyle \forall x,y \in D_{f} : x < y \implies f(x) \geq f(y) |
OR | ostře rostoucí | \displaystyle \forall x,y \in D_{f} : x < y \implies f(x) \lt f(y) |
OK | ostře klesající | \displaystyle \forall x,y \in D_{f} : x < y \implies f(x) \gt f(y) |
M | monotónní | je klesající nebo rostoucí |
OM | ostře monotónní | je ostře klesající nebo ostře rostoucí |
Symetrie
- Sudá
- symetrická podle osy Y
\forall x\in D_{f} :
-x \in D_{f}
f(x) = f(-x)
- Lichá
- symetrická podle bodu
[0, 0]
\forall x\in D_{f} :
-x \in D_{f}
f(-x) = -f(x)
- symetrická podle bodu
Omezenost
značka | typ | podmínka |
---|---|---|
OZ | omezená zdola | \exists d \in \mathbb{R} : \forall x \in D_{f} \ \ \ f(x) \geq d |
OS | omezená shora | \exists h \in \mathbb{R} : \forall x \in D_{f} \ \ \ f(x) \leq h |
O | omezená | pokud je OZ i OS |
Prostá funkce
- žádná hodnota se v oboru hodnot neopakuje
\forall x_{1}, x_{2} \in D_{f} : x_{1} \neq x_{2} \implies f(x_{1}) \neq f(x_{2})
Periodicita
- periodická funkce s periodou
T > 0
\forall x \in D_{f} :
x \pm T \in D_{f}
f(x \pm T) = f(x)
Konvexní / konkávní
- konvexní: šťastný smajlík
- konkávní: smutný smajlík
Inverzní funkce
Funkce, která přiřazuje prvky „opačně“ než funkce původní.
- existuje pouze u funkcí prostých
f(x)=y \leftrightarrow f^{-1}(y)=x
Vypočítáme tak, že funkci přepíšeme do rovnice (y = 2x
) a osamostatníme x (\frac{y}{2} = x
).
funkce | podmínka | inverzní funkce |
---|---|---|
x^n |
\sqrt[n]{x} |
|
\sqrt[n]{x} |
x^n |
|
e^x |
\ln(x) |
|
\ln(x) |
e^x |
|
a^x |
a > 0 |
\log_{a}(x) |
\log_{a}(x) |
a > 0 |
a^x |
\sin(x) |
x \in \langle -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \rangle |
\arcsin(x) |
\arcsin(x) |
x \in \langle -1, 1 \rangle |
\sin(x) |
\cos(x) |
x \in \langle -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \rangle |
\arccos(x) |
\arccos(x) |
x \in \langle -1, 1 \rangle |
\cos(x) |
\tan(x) |
x \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) |
\arctan(x) |
\arctan(x) |
\tan(x) |
|
\text{cotan}(x) |
x \in (0, \pi) |
\text{arccotan}(x) |
\text{arccotan}(x) |
\text{cotan}(x) |
Skládání funkcí
- zapisuje se:
f \circ g
- funkce se skládají do sebe
- druhá bude vložena do první
f(g(x))
- druhá bude vložena do první
Průběh funkce
Hrubé schéma
D_f
+ limity v krajních bodech- spojitost na
D_f
, body nespojitosti - symetrie (sudá / lichá)
- periodicita
- znaménko
f(x)
+ průsečíky s osoux
- znaménko
f'(x)
+ monotonie + extrémy - znaménko
f''(x)
+ konvexita/konkávita + inflexe - asymptoty v krajních bodech
D_f
H_f