FAV-ZCU/KMA NM/Zkouška/04. okruh.md

Stacionární iterační metody pro soustavy lineárních algebraických rovnic. Jacobiho a Gaussova-Seidelova metoda, SOR metoda. Nutná a postačující podmínka konvergence iterační metody, postačující podmínka konvergence iterační metody.

Iterační metody

• používány pro řídké matice

Obecný zápis

• Ax - b = 0 \leftrightarrow F(x) = 0 přepíšeme na tvar x = Hx+g \leftrightarrow x = \Phi(x)
• iterační formule ... x^{(k+1)} = H \cdot x^{(k)} + g
  • H rozhoduje o kvalitě metody
• počáteční aproximace x^{(0)}, zastavovací podmínka \Vert x^{(k)}-c^{(k-1)}\Vert < \epsilon

Jacobiho metoda

• z $i$-té rovnice vyjádřím $i$-tou složku vektoru x
  • $i$-tá rovnice ... a_{i1}x_{1} + a_{i2}x_{2} + \dots a_{in}x_{n} = b_{i}
• iterační formule
  • \displaystyle x_{i}^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}}\left( b_{i} - \sum^n_{j=1; j\neq i} a_{ij}x_{j}^{(k)} \right) pro a_{ii} \neq 0
  • H ... řádky jsou jednotlivá vyjádření x_{i}
  • g ... sestavený z členů bez x ve vyjádření x_{i}

Gaussova-Seidelova metoda

• stejný princip jako u Jacobihovy metody, ale pokud při výpočtu $(k+1)$-iterace již známe (k+1) iteraci u některých složek, tak ji použijeme
• iterační formule
  • \displaystyle x_{i}^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}}\left( b_{i} - \sum^{i-1}_{j=1} a_{ij}x_{j}^{(k+1)} - \sum^{n}_{j=i+1} a_{ij} x_{j}^{(k) }\right)

SOR metoda

• princip
  • vychází z Gauss-Seidelovy metody
  • vyjádříme $(k+1)$-iteraci pomocí $k$-té iterace a změny ... x_{i}^{(k+1)} = x_{i}^{(k)} + r_{i}^{(k)}
  • idea: k urychlení nepřičteme změnu r_{i}^{(k)} ale její násobek \omega\cdot r_{i}^{(k)}
• iterační formule
  • \displaystyle x_{i}^{(k+1)} = \omega\cdot x_{i,GS}^{(k+1)} + (1-\omega)x_{i}^{(k)}
  • lineární kombinace $(k+1)$-iterace GS-metody a $k$-té iterace metody SOR
• volba \omega
  • musíme si zvolit parametr \omega
  • tento parametr může metodu zhoršit či vylepšit oproti GS
  • vzorec, který (ne vždy) dokáže vypočítat optimální \omega
    • \displaystyle\omega_\text{opt} = \frac{2}{1 + \sqrt{ 1- \rho(H_{J}) }}
    • \rho(H_{J}) ... spektrální poloměr Jacobiho matice H

Konvergence iteračních metod

\displaystyle\lim_{ x \to \infty } x^{(k)} = x^*

Nutná a postačující podmínka konvergence

• \rho(H) = \max|\lambda_{i}(H)| < 1 \Longleftrightarrow metoda konverguje \Longleftrightarrow úloha je stabilní
  • \rho(H) ... spektrální poloměr matice H = maximální vl. číslo matice H v abs. hodnotě
• čím blíž bude spektrální poloměr 1, tím bude metoda pomalejší
  • snaha, dostat ho co nejvíce k 0

Postačující podmínka konvergence

• \Vert H\Vert \leq q < 1 \implies metoda je konvergentní
  • multiplikativní maticová norma: \Vert A\cdot B\Vert \leq \Vert A\Vert\cdot\Vert B\Vert
• podmínka pro konvergenci SOR
  • \rho(H_{SOR}) \geq |\omega-1| \quad \forall \omega \in R

Konvergenční věty

• podmínky pro H jsou nepraktické, H je těžko spočitatelná
• A je ostře diagonálně dominantní \implies konverguje Jacobiho i GS metoda pro libovolnou volbu x_{0}
• A je symetrická a poz. definitní \implies konverguje GS metoda
• SOR metoda konverguje \implies 0 < \omega < 2
• A je symetrická a poz. definitní, 0 < \omega < 2 \implies SOR metoda konverguje