2.8 KiB
2.8 KiB
Základní pojmy. Matematický model, matematická úloha, korektní úloha, podmíněnost úlohy, číslo podmíněnosti, podmíněnost a stabilita algoritmu. Příklady.
Matematický model
Reálný problém popsaný matematickými veličinami a vztahy.
Matematická úloha
Mějme dány dvě množiny X
(vstupní data) a Y
(výstupní data). Předpokládejme, že X, Y
jsou Banachovy prostory (úplné + normovaný). Úlohou rozumíme relaci y = U(x); \, x \in X_{i}; \, y \in Y
.
Korektní úloha
- Úloha je korektní na dvojici prostorů
(X,Y)
, když:\forall \, x \in X \quad \exists! \, y \in Y: \quad y = U(x)
- jedná se o zobrazení
\forall \, \{x_{n}\}: x_{n} \to x_{i} \cup (x_{n}) = y_{n} : y_{n} \to y = U(x)
- řešení
y
spojitě závisí na vstupních datech
- řešení
Pro řešitelné rovnice nám vyjde přesné řešení.
Pokud úloha nelze řešit, převedeme ji na numerickou úlohu.
Numerická úloha
- neznáme metodu pro nalezení přesného řešení, volíme přibližnou metodu
- problém např. musíme diskretizovat
- metoda býva nepřesná - chyba metody (chyba diskretizace)
Podmíněnost úlohy
Dobrá podmíněnost
- Úloha je dobře podmíněná, jestliže malá relativní změna na vstupu vyvolá malou relativní změnu řešení.
Číslo podmíněnosti
- vyjadřuje míru změny řešení při změně vstupu
- je-li
C_{p} \approx 1
, úloha je velmi dobře podmíněná - v praxi hovoříme o špatně podmíněné úloze pro
C_{p} \geq 100
\displaystyle C_{p} = \frac{\frac{\Vert \Delta y\Vert}{\Vert y\Vert}}{\frac{\Vert \Delta x\Vert}{\Vert x\Vert}}
\displaystyle\frac{\Vert\Delta y\Vert}{\Vert y\Vert} = \frac{\vert U(\overline{x}+ \Delta x) - U(\overline{x}) \vert}{\vert U(\overline{x}) \vert}
- horní část - relativní chyba na výstupu
y
- dolní část - relativní chyba na vstupu
x
Stabilita a podmíněnost algoritmu
Stabilní algoritmus
- dobře podmíněný - málo citlivý na poruchy ve vstupních datech
- numericky stabilní - málo citlivý na vliv zaokrouhlovaných chyb
Nestabilní algoritmus
- relativně malé chyby v jednotlivých krocích se akumulují tak, že dojde ke katastrofální ztrátě přesnosti řešení
U stabilních metod roste chyba výsledku nejvýše lineárně.
- sčítáním a odčítáním můžeme ztratit hodně informací (desetinných míst) - to může vést k nestabilitě
- reziduum
r = b-A\overline{x}
- míra chyby mezi přesným a přibližným řešením
- vyjde nula, když dostaneme přesné řešení
- chyba
e = \overline{x} - x^*
- rozdíl mezi přibližným a přesným výsledkem
- když se nám rapidně zvyšuje chyba, ale reziduum je stále blízké nule, tak se jedná o nestabilní algoritmus