2.9 KiB
Hodnost matice
Počet nenulových řádků matice po provedení GEM (Gaussova eliminační metoda), kterou dostaneme matici s nenulovými čísly nad diagonálou a na ní.
Při použítí GEM můžeme:
- přičíst libovolný nenulový násobek řádku k jinému řádku,
- libovolně násobit jednotlivé řádky (ne nulou).
Soustava rovnic
Soustava m
rovnic pro n
neznámých:
$$
\begin{matrix}
a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + a_{13}x_{3} + \dots + a_{1n}x_{n} = b_{1} \
a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + a_{23}x_{3} + \dots + a_{2n}x_{n} = b_{2} \
\vdots \qquad\qquad\qquad \vdots \
a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + a_{m3}x_{3} + \dots + a_{mn}x_{n} = b_{n}
\end{matrix}
Soustavu zapíšeme maticově:
$$
A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \
a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn}
\end{bmatrix}, \qquad \vec{x} = \begin{bmatrix}
x_{1} \
x_{2} \
\vdots \
x_{n}
\end{bmatrix}, \qquad \vec{b} = \begin{bmatrix}
b_{1} \
b_{2} \
\vdots \
b_{m}
\end{bmatrix}
Potom A je matice soustavy (typu m/n
), \vec{x}
je vektor (sloupec) neznámých a \vec{b}
je vektor (sloupec) pravých stran.
Soustavu zapisujeme jako A\vec{x} = \vec{b}
.
Dvě soustavy se nazývají ekvivalentní, jestliže mají stejnou množinu řešení.
Rozšířená matice soustavy
Zápis soustavy do matice, kde svislá čára značí =
, značíme ji jako A^R = [A \mid \vec{b}]
.
Frobeniova podmínka řešitelnosti
Nehomogenní soustava rovnic A\vec{x} = \vec{b}
má řešení právě tehdy, když hod(A^R) = hod(A)
.
Typy soustav
- homogenní
- s nulovým sloupcem vpravo (nemusí se psát)
- nehomogenní
- s čísly vpravo oddělenými svislou čárou (značí
=
)
- s čísly vpravo oddělenými svislou čárou (značí
Řešení soustavy
- přepíšu do matice a vyřeším pomocí GEM/GJEM
- najdu pivoty (první nenulové číslo v řádku) a ke sloupcům bez pivota přiřadím parametry (např.:
x_3 = t, t \in R
) - řádky zapíšu jako rovnice (např.:
2x_1 + 3x_2 + x_4 = 0
) - z rovnic vyjádřím jednotlivá x
Možná řešení
- soustava nemá řešení
- soustava má jedno řešení
- soustava má nekonečně mnoho řešení
Eukleidův algoritmus
Algoritmus pro nalezení největšího společného dělitele čísel a
a b
. Největšího společného dělitele označíme jako \gcd(a, b)
.
Mějme a = 57, b = 27
. Platí, že c = \gcd(a, b)
dělí a
a rovněž b
, dělí tedy i rozdíl a-b = 30
. Pokud nyní najdeme \gcd(30, 27)
, získáme i \gcd(57, 27)
. Aplikacím tohoto postupu dostaneme postupně \gcd(30, 27) = \gcd(3, 27) = 3
, tedy i \gcd(57, 27) = 3
.
TODO: Rozšířený euklidův algoritmus
Stanovení inverzního prvku
Prvek a^{-1}
, pro který platí a \oplus a^{-1} = 0
.
Příklad: Pokud máme modulo 5, tak inverzní prvek k prvku 4
bude 1
, protože 4 + 1 = 0
.