3 KiB
3 KiB
Počet koster úplného grafu (různých)
- Věta (Cayleyho formule)
- počet různých koster úplného grafu
K_{n}
jen^{n-2}
- [= počet různých stromů na
n
vrcholech]
- počet různých koster úplného grafu
Incidenční matice [vrcholově-hranová inc. matice]
- or. graf G bez smyček,
G = (V, E), V = \{ v_{1}, \dots, v_{n} \}, E = \{ e_{1}, \dots, e_{n} \}
M(G) = (m_{ij})_{i = 1, \dots, n}^{j = 1, \dots, n}
typun/m
m_{ij} \begin{cases} 1 \quad \text{pokud hrana } e_{j} \text{ začíná ve vrcholu } v_{i}\\-1 \quad \text{pokud hrana } e_{j} \text{ končí ve vrcholu } v_{i}\\0 \quad \text{ jinak (} e_{j} \text{ nekoliduje s } v_{i}\text{)} \end{cases}
- v každém sloupci je právě jedna 1 a právě jedna -1
- sloupce odpovídají dvěma protichůdným hranám (jsou lineárně závislé)
Incidenční matice neor. grafu
M(G) = (m_{ij})
typun/m
m_{ij} \begin{cases} 1 \quad \text{pokud hrana } e_{j} \text{ inciduje s vrcholem } v_{i}\\0 \quad \text{ jinak} \end{cases}
Matice sousednosti
A(G) = (a_{ij})
řádu na_{ij} = \begin{cases} 1 \quad \text{v G existuje hrana }(i,j)\\ 0 \quad \text{jinak} \end{cases}
- obecně A není symetrická
- pro neor. graf G (matice symetrické orientace)
Laplaceova matice neor. grafu G na n vrcholech
L(G) = (l_{ij})
řádu n (symetrická)V = \{ v_{1}, \dots, v_{n} \}
l_{ij} = \begin{cases} \deg(v_{i}) \quad \text{pro } i=j \\ -1 \quad\qquad v_{i}v_{j} \in E(G) \\ 0 \qquad\qquad \text{jinak} \end{cases}
- redukovaná Laplaceova matice
L_{R}
- Tvrzení:
- neor. graf G, H lib. (pevná) orientace grafu G
- pak platí
L(G) = M(H) \cdot M^T(H)
\quad [L_{R}(G) = M_{R}(H) \cdot M_{R}^T(H)]
- Věty (2 lim. alg.):
- matice A řádu n, B typu n/m
- pokud
A = B \cdot B^T
, pak A je pozitivně semidefinitní - p.s.d. matice má nezáporná vl. čísla
- Laplaceova matice neor. grafu je pozitivně semidefinitní
Vlastnosti incidenční matice orientovaného grafu
- G or. graf,
G = (V, E), V = \{ v_{1}, \dots, v_{n} \}, E= \{ e_{1}, \dots, e_{n} \}
M(G) = (m_{ij})
- Tvrzení:
- or. graf G, buď K slabá komponenta G, pokud
\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}v_{i} = 0
, pak všechnyv_{i}
komponenty K jsou si příslušné koeficienty\alpha_{i}
rovny
- or. graf G, buď K slabá komponenta G, pokud
- Pozorování:
- množin řádků M(G) je LZ (součet všech je nulový ř.)
\text{hod}(M(G)) < n
- Věta:
- G or. slabě souvislý graf, pak
h(M(G)) = n-1 \quad (n = \vert V(G)\vert)
- dokonce lib. podmnožina
n-1
řádků je LN
- G or. slabě souvislý graf, pak
- Věta:
- or. graf F má k slabých komponent
\iff \text{hod}(M(G)) = n-k
- or. graf F má k slabých komponent
Kostra orientovaného grafu
- G or. graf, H je kostra G, pokud symetrizace H je kostrou symetrizace G a H neobsahuje protichůdné hrany a smyčky
- značení: M(G), S množina sloupců M(G)
F_{S}
... faktor přiřazený vybrané množině sloupců Se_{i} \in F_{S} \iff e_{i} \in S
- Věta:
- G slabě souvislý or. graf bez smyček, potom čtvercová podmatice
A_{S}
maticeM_{R}(G)
řádun-1
je regulární\iff
odpovídající faktorF_{S}
je kostrou G
- G slabě souvislý or. graf bez smyček, potom čtvercová podmatice