3.4 KiB
Částečně uspořádané množiny
Uspořádání na množině X
je libovolná relace na X
, která je reflexivní, slabě antisymetrická a tranzitivní.
Je-li R
uspořádání na množině X
, pak dvojice (X, R)
se nazývá uspořádaná množina. Jsou-li prvky x, y
v relaci R
(tedy x \, R \, y
), interpretujeme to slovy "prvek x je menší nebo roven prvku y".
Z uvedené definice se uspořádáním říká také neostrá uspořádání, protože pro každé x
platí x \, R \, x
. (U ostrého uspořádání bychom místo reflexivity vyžadovali antireflexitu)
Porovnatelnost prvků
Nechť x, y
jsou dva prvky uspořádané množiny (X, \leq)
. Platí-li x \leq y
nebo y \leq x
, jsou prvky x, y
porovnatelné, v opačném případě neporovnatelné.
Uspořádání \leq
se často označuje jako částečné (POSET), protože definice připouští existenci dvojic neporovnatelných prvků.
Hasseův diagram
Hasseův diagram uspořádané množiny (X, \leq)
je znázornění, ve kterém pro každou dvojici prvků x, y \in X
platí x \triangleleft y
, právě když x, y
jsou spojeny čarou a prvek y
je nakreslen výše než x
.
Spojnice není nutná opatřovat šipkou, protože směr je jednoznačně dán.
Nezakreslujeme
- relace prvků, které jsou v relaci díky tranzitivitě
- smyčky u vrcholů (reflexivita)
Bezprostřední předchůdce
Nechť x, y
jsou prvky uspořádané množiny (X, \leq)
. Prvek x
je bezprostředním předchůdcem prvku y
(psáno x \triangleleft y
), pokud x \leq y
a neexistuje žádné z \in X - \{x,y\}
, pro které by platilo x \leq z \leq y
.
Na vztah \triangleleft
se můžeme dívat jako na relaci na množině X
(tzv. relace bezprostředního
předcházení). Tato relace obecně není reflexívní ani tranzitivní.
Základní pojmy
Největší prvek
a \in X
, pokud pro každéx \in X
platíx \leq a
- musí být maximálním prvkem
- nemusí existovat, případně určen jednoznačně
Nejmenší prvek
a \in X
, pokud pro každéx \in X
platía \leq x
- musí být minimálním prvkem
- nemusí existovat, případně určen jednoznačně
Maximální prvek
a \in X
, pokud pro žádnéx \in X
nenía \leq x
- prvky, které nejsou v relaci se žádným větším prvkem
- může jich být více
Minimální prvek
a \in X
, pokud pro žádnéx \in X
neníx \leq a
- prvky, které nejsou v relaci se žádným menším prvkem
- může jich být více
Supremum
- nejmenší horní závora prvků
x, y \in X
- prvek
s \in X
s vlastnostmix \leq s
ay \leq s
(je horní závorou)- je-li
x \leq z
ay \leq z
pro nějakéz \in X
, paks \leq z
(je nejmenší horní závorou)
Infimum
- největší dolní závora prvků
x, y \in X
- prvek
i \in X
s vlastnostmii \leq x
ai \leq y
(je dolní závorou)- je-li
z \leq x
az \leq y
pro nějakéz \in X
, pakz \leq i
(je největší dolní závorou)
Duální POSET \mathcal P^{d} = (X, \mathcal P^d)
k POSETu \mathcal P
P^d = \{ (x,y) \mid (x, y) \in \, \leq \}
- Pokud pro POSET
\mathcal P
existuje Hasseův diagram, pak Hasseův diagram pro\mathcal P^d
získáme jeho otočením "vzhůru nohama". - Relace
\mathcal P^d
je inverzní k relaci\mathcal P
.
TODO: Podposet