24 KiB
Popište a vysvětlete inerciální a neinerciální souřadné soustavy
- základní vztahy pro průvodiče, rychlosti a zrychlení (obrázek)
- platnost 1. a 2. Newtonova zákona v těchto soustavách
- co jsou to Galileovy transformace a za jakých podmínek platí
- kdy působí setrvačné síly (tři druhy těchto sil) a kam směřují (obrázek)
Základní vztahy pro průvodiče, rychlosti a zrychlení (obrázek)
Inerciální soustavy (inercie = setrvačnost)
- vztažná soustava, která se pohybuje rovnoměrně přímočaře nebo je v klidu
- rovnoměrně - rychlost se v čase nemění
- přímočaře - směr se v čase nemění
- Newtononovy zákony platí bez jakýchkoliv úprav
Neinerciální soustavy
- vztažná soustava, která se pohybuje zrychleně (např. zrychleně rovnoměrně, po kruhové dráze, ...)
- kromě skutečných sil brány v úvahu také zdánlivé (inertní) síly
- Eulerova (setrvačná) síla, odstředivá síla, Coriolisova síla
- pro použití Newtonových zákonů je potřeba přidávat tyto zdánlivé síly
Máme dvě vzájemně nezávislé soustavy S
a S'
, ve kterých pozorujeme stejný hmotný bod m
- osy zůstávají rovnoběžné a pohybují se vůči sobě (posuvný pohyb nebo-li translace)
Průvodiče jsou vektory polohy r, r'
závisící na čase t
- vedou od počátku souřadnicového systému k poloze tělesa
m
- pokud se těleso pohybuje v dané soustavě, průvodič se v čase mění a jeho změna určuje rychlost tělesa v dané soustavě
Z obrázku je zřejmý vztah pro průvodiče
\displaystyle\vec{r} = \vec{r}' + \vec{R}
Derivace podle času - vztah pro rychlost
\displaystyle\frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d\vec{r}'}{dt} + \frac{d\vec{R}}{dt}
- můžeme upravit, rychlost je vyjádřena jako
v = \frac{dr}{dt}
- můžeme upravit, rychlost je vyjádřena jako
\vec{v} = \vec{v}' + \vec{u}
\vec{v}
je rychlost bodu v soustavěS
\vec{v}'
je rychlost stejného bodu v soustavěS'
\vec{u}
je unášivá rychlost, tedy rychlost, s jakou se soustavaS'
pohybuje vzhledem k soustavěS
(hmotný bod je soustavou unášen)
Derivace vzorce rychlosti podle času - vztah pro zrychlení
\displaystyle\frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d\vec{v}'}{dt} + \frac{d\vec{u}}{dt}
- můžeme upravit, zrychlení je časovou derivací rychlosti
\vec{a} = \vec{a}' + \vec{a}_{u}
\vec{a}
je zrychlení bodu v soustavěS
\vec{a}'
je zrychlení stejného bodu v soustavěS'
\vec{a}_{u}
je unášivé zrychlení soustavyS'
vůči soustavěS
Platnost 1. a 2. Newtonova zákona v těchto soustavách
První Newtonův zákon (zákon setrvačnosti)
- Těleso setrvává v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu, pokud na něj nepůsobí žádná výsledná síla (součet všech sil).
Druhý Newtonův zákon (zákon síly)
- Zrychlení tělesa je přímo úměrné výsledné síle působící na těleso a nepřímo úměrné jeho hmotnosti. Tento vztah je vyjádřen rovnicí
\vec{F} = m\vec{a}
.- hmotnost je míra setrvačnosti, brání v pohybu
Rovnoměrný přímočarý pohyb soustavy S'
vůči soustavě S
- unášivá rychlost mezi soustavami je konstantní
\vec{u} = \text{konst.}
- v soustavě
S
platí pro těleso zákon setrvačnosti (1. NZ)- těleso se bez působení sil pohybuje v soustavě
S
rovnoměrným přímočarým pohybem nebo je v klidu - rychlost v soustavě
S
je tedy konstantní včetně nuly\vec{v} = \text{konst.}
- z výše uvedených vztahů plyne, že rychlost v soustavě
S'
bude také konstantní\vec{v}' = \vec{v} - \vec{u} = \text{konst.}
- zákon setrvačnosti platí v obou soustavách, nazývají se tedy inerciální (setrvačné)
- v těchto soustavách platí Galileovy transformace
- těleso se bez působení sil pohybuje v soustavě
- platnost 2. NZ v soustavě
S'
- předpokládejme, že pro hmotný bod v soustavě
S
neplatí 1. NZ, ale působením těles se začal pohybovat podle zákona síly:\vec{F} = m\vec{a}
- při konstantní unášivé rychlosti
\vec{u}
soustavyS'
je její unášivé zrychlení nulové\displaystyle\vec{a}_{u} = \frac{d\vec{u}}{dt} = \frac{d}{dt}(\text{konst}) = 0
- ze vztahů plyne rovnost zrychlení
\vec{a}' = \vec{a} - \vec{a}_{u} = \vec{a}
- pohybová rovnice v
S'
má tedy tvarm\cdot \vec{a}' = m\cdot(\vec{a}-\vec{a}_{u}) = m\cdot \vec{a} = \vec{F} = \vec{F}'
- v obou soustavách jsou tedy stejná zrychlení i stejné síly
- pohybová rovnice tedy platí v nezměněném tvaru v každé inerciální soustavě
- pohybové rovnice jsou invariantní (nezměněné) vůči Galileově transformaci
- předpokládejme, že pro hmotný bod v soustavě
Nerovnoměrný křivočarý (posuvný) pohyb soustavy S'
vůči soustavě S
- pohyb musí být stále translací (osy se tedy neotáčí)
- unášivá rychlost je nyní obecně proměnnou veličinou
- rychlost může měnit velikost, směr i orientaci
\vec{u} \neq \text{konst.}
- unášivé zrychlení je tedy nenulové
\displaystyle\vec{a}_{u} = \frac{d\vec{u}}{dt} \neq 0
- platnost 1. NZ v soustavě
S'
- v případě konstantní rychlosti tělesa v soustavě
S
nebude vS'
rychlost konstantní\vec{v}' = \vec{v} - \vec{u} \neq \text{konst.}
- kvůli tomu v soustavě
S'
neplatí zákon setrvačnosti a jedná se tak o neinerciální soustavu
- v případě konstantní rychlosti tělesa v soustavě
- platnost 2. NZ v soustavě
S'
- jelikož je unášivé zrychlení nenulové, tak je zrychlení bodu v soustavě
S'
odlišné od zrychlení stejného bodu v soustavěS
\vec{a}' = \vec{a} - \vec{a}_{u} \neq \vec{a}
- pohybová rovnice v
S'
má poté tvarm\cdot \vec{a}' = m\cdot(\vec{a} - \vec{a}_{u}) = m\cdot \vec{a}-m\cdot \vec{a}_{u} = \vec{F} + \vec{F}^* = \vec{F}'
- v obou soustavách jsou nyní jiná zrychlení i jiné síly
- pohybová rovnice není invariantní
- změnila svůj tvar a kromě původní působící síly se zde objevuje nová setrvačná síla
\vec{F}^*
závisející na unášivém zrychlení soustavy
- změnila svůj tvar a kromě původní působící síly se zde objevuje nová setrvačná síla
- jelikož je unášivé zrychlení nenulové, tak je zrychlení bodu v soustavě
Co jsou to Galileovy transformace a za jakých podmínek platí
Jedná se o transformační vztahy pro převod souřadnic mezi dvěma inerciálními soustavami
\vec{r} = \vec{r}' + \vec{R} \implies \vec{r}' = \vec{r} - \vec{R}
- budeme počítat souřadnice ve druhé soustavě- tento vztah je možné rozložit na tři rovnice
x' = x - R_{x}
y' = y - R_{y}
z' = z - R_{z}
- použitím rovnice
s = v\cdot t
rozložímeR_{i}
nau_{i}\cdot t
, čímž získáme Galileovy transformacex' = x - u_{x}\cdot t
y' = y - u_{y}\cdot t
z' = z - u_{z}\cdot t
t = t'
(souřadnice počítáme ve stejném čase)
- pokud vyjádříme
x, y, z
místox', y', z'
, tak získáme inverzní Galileovy transformacex = x' + u_{x}\cdot t
y = y' + u_{y}\cdot t
z = z' + u_{z}\cdot t
t = t'
Podmínky
- soustavy
S
aS'
se vůči sobě pohybují posuvným pohybem (translací)- osy soustav musí zachovávat svůj směr
- obě dvě soustavy musí být inerciální
- v nulovém čase
t = 0
obě soustavy splývají - jejich počátky jsou na stejném místě, tedyO' = O
Kdy působí setrvačné síly a kam směřují (obrázek)
Nerovnoměrný křivočarý (posuvný) pohyb soustavy S'
vůči soustavě S
- setrvačná síla (v neinerciální soustavě)
\vec{F}^* = -m\cdot \vec{a}_{u}
- rozložení setrvačné síly na složky
\vec{a}_{u} = \vec{a}_{n} + \vec{a}_{t}
\vec{F}_{n}^* = -m(\vec{a}_{n} + \vec{a}_{t}) = -m\vec{a}_{n} -m\vec{a}_{t} = \vec{F}^*_{n} + \vec{F}^*_{t}
- odstředivá síla
\displaystyle\vec{F}^*_{n} = -m\vec{a}_{n} = -m\cdot \frac{u^2}{R}\cdot \vec{n} = -m\cdot \vec{\omega}\times \vec{\omega}\times \vec{r}
- má opačný směr oproti dostředivé síle
- Eulerova (setrvačná) síla
\displaystyle\vec{F}^*_{t} = -m\vec{a}_{t} = -m\cdot \frac{du}{dt}\cdot \vec{t} = -m\cdot \vec{\epsilon} \times \vec{r}
- má opačný směr oproti tečné síle
Rotační pohyb soustavy S'
vůči soustavě S
- předpoklady
- inerciální soustava
S
je v klidu - neinerciální soustava
S'
se otáčí úhlovou rychlostí\omega
kolem společných osz = z'
- počátky obou soustav splývají -
O = O'
- inerciální soustava
- sledujeme jediný hmotný bod
m
v soustaváchS
iS'
- počátky obou soustav splývají, vektory jsou tedy totožné -
\vec{r} = \vec{r}'
- souřadnice tohoto jediného vektoru jsou v obou soustavách různé
- počátky obou soustav splývají, vektory jsou tedy totožné -
- hmotný bod je se soustavou
S'
pevně spojený- je vůči ní v klidu a je touto soustavou unášen
- jeho unášivá rychlost rovna obvodové rychlosti kruhového pohybu
\vec{u} = \vec{\omega}\times \vec{r}
- bod se může v
S'
pohybovat i samostatně- navíc s rychlostí
\vec{v}'
- skládání rychlostí v soustavě
S
-\vec{v} = \vec{v}' + \vec{\omega}\times \vec{r}
- navíc s rychlostí
- obecný vztah mezi derivacemi libovolného vektoru
- vektor
\vec{A}
ve dvou vztažných soustavách - v inerciální soustavě
S
a neinerciální soustavěS'
rotující úhlovou rychlostí\vec{\omega}
\displaystyle\frac{d\vec{A}}{dt} = \frac{d'\vec{A}}{dt} + \vec{\omega}\times \vec{A}
- vektor
- vztah výše lze využít pro výpočet zrychlení hmotného bodu v neinerciální soustavě
\displaystyle\frac{d\vec{v}'}{dt} = \frac{d'\vec{v}'}{dt} + \vec{\omega}\times \vec{v}'
\displaystyle\vec{a}' = \frac{d'\vec{v}'}{dt} = \frac{d\vec{v}'}{dt} - \vec{\omega}\times \vec{v}'
\displaystyle\vec{a}' = \frac{d}{dt}(\vec{v} - \vec{\omega}\times \vec{r}) - \vec{\omega}\times \vec{v}'
\displaystyle\vec{a}' = \vec{a} - \vec{\epsilon}\times \vec{r} - \vec{\omega}\times \vec{v} - \vec{\omega}\times \vec{v}'
m\cdot\vec{a}' = m\cdot\vec{a} - m\cdot\vec{\epsilon}\times \vec{r} - m\cdot \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times \vec{r}) - 2\cdot m\cdot \vec{\omega}\times \vec{v}'
m\cdot \vec{a} = \vec{F} + \vec{F}^*_{1} + \vec{F}^*_{2} + \vec{F}^*_{3} = \vec{F}'
- kromě skutečné síly
\vec{F}
je potřeba započítat tři další\vec{F}^*_{1} = \vec{F}^*_{t} = -m\cdot \vec{\epsilon}\times \vec{r}
- Eulerova (setrvačná) síla\vec{F}^*_{2} = \vec{F}^*_{n} = -m\cdot \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times \vec{r})
- odstředivá síla\vec{F}^*_{3} = \vec{F}^*_{C} = -2m\cdot \vec{\omega}\times \vec{v}'
- Coriolisova síla- objevuje se pouze, pokud se hmotný bod pohybuje rychlostí, která není rovnoběžná s osou rotace - tedy
z = z'
- objevuje se pouze, pokud se hmotný bod pohybuje rychlostí, která není rovnoběžná s osou rotace - tedy
Definujte a vysvětlete základní energetické veličiny hmotného bodu v gravitačním poli
- práce síly pole a vnější síly - jak se na nich projeví konzervativnost gravitačního pole
- potenciální energie, kinetická energie a celková mechanická energie
- zákon zachování mechanické energie
Práce síly pole a vnější síly, konzervativnost gravitačního pole
Práce síly pole
- práce vykonaná gravitační silou při přesunu hmotného bodu
- závisí pouze na počáteční a konečné poloze
- existuje centrální těleso (CT) o hmotnosti
M
- ve vzdálenosti
\vec{r}
od CT se nachází těleso o hmotnostim
- poté centrální těleso působí na druhé těleso silou
\vec{F}
\displaystyle\vec{F} = -\kappa \cdot \frac{Mm}{r^2} \cdot \vec{r_{0}}
\kappa
je gravitační konstanta\vec{r}_{0} = \frac{\vec{r}}{r}
je jednotkový vektor určující směr síly působící na tělesom
- pozorované těleso hmotnosti
m
je v gravitačním poli CT
Práce vnější síly
- práce vykonaná jinou silou než gravitační, která působí na hmotný bod
m
Konzervativnost gravitačního pole
- práce vykonaná v tomto poli při přesunu hmotného bodu je závislá pouze na počáteční a konečné poloze, nikoliv na dráze
- znamená, že pole nezpůsobuje ztrátu ani zisk celkové mechanické energie systému
Potenciální a kinetická energie, celková mechanická energie
Potenciální energie
- práce, kterou těleso vykoná při pohybu z místa
\vec{r}
do výchozího místa\vec{r_{1}}
- nezáleží na dráze
\displaystyle W_{p}(\vec{r}, \vec{r_{1}}) = -\kappa \frac{Mm}{\vec{r}} + \kappa \frac{Mm}{\vec{r_{1}}}
Kinetická energie
- zabýváme se změnou pohybové síly tělesa
- závisí pouze na pohybovém stavu (rychlosti) tělesa v počátečním a koncovém bodě
W_{k}(v) = \frac{1}{2}mv^2
Celková mechanická energie
- součet potenciální a kinetické energie
- v libovolném místě konzervativního silového pole stále stejnou hodnotu
- zákon o zachování mechanické energie
W = W_{p} + W_{k} = \text{konst.}
- tento součet nám říká o zachování mechanické energie
- jediným jeho předpokladem je konzervativnost silového pole
- konzervativní silové pole nezpůsobuje ztrátu ani zisk celkové mechanické energie systému
Popište a vysvětlete tlumený harmonický oscilátor
- výchozí podmínky - všechny působící síly
- sestavení pohybové rovnice - její řešení pro různé velikosti tlumení (včetně grafů)
- jaká je perioda, amplituda a energie oscilátoru u kmitavého řešení
- co je to útlum a kvalita oscilátoru
- stav velmi malého tlumení
Popište a vysvětlete nucený harmonický oscilátor
- výchozí podmínky, všechny působící síly
- pohybová rovnice, obecné a ustálené řešení
- velikost amplitudy – její průběh (do grafu)
- kdy nastane jev amplitudové rezonance - jeho popis, speciálně pro velmi malé tlumení
Výchozí podmínky, všechny působící síly
Jelikož by kmity přirozeně ustaly, budeme je v tomto případě udržovat působením vnější síly.
Tlumící (odporová) síla působící na pružinu
\displaystyle\vec{F}_{t} = -B\cdot \vec{v} = -B\cdot \frac{d\vec{r}}{dt}
B
- koeficient tlumení\vec{r}
- průvodič (poloha)
Síla pružiny
F = -k\cdot y
k
- tuhost pružinyy
- výchylka od rovnovážné polohy
Harmonická budící síla
F_{b} = F_{0} \cdot \sin \Omega t
\Omega
- úhlová frekvenceF_{0}
- amplituda budící síly - nejvyšší hodnotaF_{b}
- nejjednodušší budící síla se sinusovým průběhem
Úpravy vzorce
- postupujeme jako u tlumených kmitů, ale přidáme navíc budící sílu
\displaystyle m\cdot \frac{d^2y}{dt^2} = -k\cdot y - B\cdot \frac{dy}{dt} + F_{0}\cdot \sin \Omega t
\displaystyle\ddot{y} + \frac{B}{m} \cdot \dot{y} + \frac{k}{m} \cdot y = \frac{F_{0}}{m}\cdot \sin \Omega t
Pohybová rovnice, obecné a ustálené řešení
Vlastní úhlová frekvence
\displaystyle\frac{k}{m} = \omega^2
Konstanta útlumu
\displaystyle\frac{B}{m} = 2b
Pohybová rovnice nucených kmitů
\displaystyle\ddot{y} + 2b\dot{y} + \omega^2y = \frac{F_{0}}{m}\cdot \sin \Omega t
Partikulární řešení
- uvažujeme jen malé tlumení
y = A\cdot\sin(\Omega t + \Phi_{0})
\Phi_{0}
- počáteční fáze kmitání,t = 0
Obecné řešení nucených kmitů
y = C\cdot e^{-bt} \cdot \sin(\omega_{1}t + \varphi_{0}) + A\cdot \sin(\Omega t + \Phi_{0})
- dvě části jsou důsledkem dvou vlivů na pohyb hm. bodu
- spolupůsobení třecí a pružné síly (tlumené kmity)
- harmonický kmitavý pohyb stejné frekvence, způsoben budící silou
Ustálené řešení nucených kmitů
- je určeno pouze partikulárním řešením
y = A\cdot\sin(\Omega t + \Phi_{0})
- první člen obecného řešení prakticky vymizí (přestane kmitat)
Velikost amplitudy, její průběh
Vztah pro amplitudu nucených kmitů
\displaystyle A = \frac{F_{0}}{m}\cdot\frac{1}{\sqrt{ (\omega^2 - \Omega^2)^2 + 4b^2\Omega^2 }}
Fázový posun
\displaystyle\tan\Phi_{0} = -\frac{2b\Omega}{\omega^2-\Omega^2}
Amplitudová rezonance, velmi malé tlumení
- dochází k ní, když se frekvence vnější síly
\Omega
blíží přirozené frekvenci oscilátoru\omega
- v takovém případě je amplituda maximální
Rezonance
- bez tlumení -
A
teoreticky roste do nekonečna - s tlumením -
A
dosáhne konečné hodnoty i při rezonanci, protože tlumení omezuje růst amplitudy
Velmi malé tlumení
- amplituda rezonančních kmitů je výrazně vyšší, jelikož je tlumena jen málo
Popište skládání dvou rovinných vln stejné frekvence postupujících stejným směrem
- sestavte výchozí rovnice pro obě vlny (od dvou koherentních zdrojů na ose x) (obrázek)
- převeďte na komplexní tvary - a sečtěte na výslednou vlnu
- podmínky extrémních stavů
- aplikace
Výchozí rovnice pro obě vlny, obrázek
- podle principu superpozice můžeme libovolné pohyby (nebo vlny) skládat nezávisle na sobě (jelikož jsou zcela nezávislé)
- každý z vícero pohybů můžeme analyzovat samostatně
- výsledky poté v libovolném pořadí složíme (sečteme)
Úhlová rychlost
\displaystyle\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f
\omega_{1} = \omega_{2} = \omega
- máme stejnou frekvenci, tedy i stejnou úhlovou rychlost a periodu
Výchozí rovnice
y_{1} = A_{1}\cdot \sin(\omega t+\varphi_{1})
y_{2} = A_{2}\cdot \sin(\omega t+\varphi_{2})
Výsledný pohyb
y = y_{1}+y_{2}
y = A_{1}\cdot\sin(\omega t+\varphi_{1}) + A_{2}\cdot \sin(\omega t+\varphi_{2})
- součtem dvou sinusoid stejné frekvence je opět sinusoida nezměněné frekvence
- změnila se pouze amplituda a fázová konstanta
\varphi
(v případě fázového posunu)
- černá vlna je součtem modrých vln
Převeďte na komplexní tvary, výsledná vlna
Použití komplexních funkcí
\displaystyle \hat{u}_{1} = A_{1}\cdot e^{i\cdot(\omega t+\varphi_{1})} = A_{1}\cdot e^{i\cdot \varphi_{1}} \cdot e^{i\cdot \omega\cdot t} = \hat{A}_{1}\cdot e^{i\cdot\omega\cdot t}
\displaystyle \hat{u}_{2} = A_{2}\cdot e^{i\cdot(\omega t+\varphi_{2})} = A_{2}\cdot e^{i\cdot \varphi_{2}} \cdot e^{i\cdot \omega\cdot t} = \hat{A}_{2}\cdot e^{i\cdot\omega\cdot t}
- komplexní tvar výsledných kmitů
\hat{u} = \hat{u}_{1} + \hat{u}_{2} = \hat{A}_{1}\cdot e^{i\cdot \omega\cdot t} + \hat{A}_{2}\cdot e^{i\cdot \omega\cdot t} = (\hat{A}_{1} + \hat{A}_{2}) \cdot e^{i\cdot \omega\cdot t}
- stejná frekvence umožňuje vytknutí exponenciely
- standardní tvar komplexního zápisu kmitů
\hat{u} = (\hat{A}_{1} + \hat{A}_{2}) \cdot e^{i\cdot \omega\cdot t} = \hat{A} \cdot e^{i\cdot \omega\cdot t} = A\cdot e^{i\cdot \varphi} \cdot e^{i\cdot \omega\cdot t}
- důkaz, že výsledné kmity jsou opět harmonické se stejnou frekvencí jako původní
- výsledná komplexní amplituda
- je součtem obou počátečních komplexních amplitud
\hat{A} = \hat{A}_{1} + \hat{A}_{2}
A\cdot e^{i\cdot \varphi} = A\cdot e^{i\cdot \varphi_{1}} + A\cdot e^{i\cdot \varphi_{2}}
Podmínky extrémních stavů
Podmínky extrémních stavů určují, jaké musí mít vlny počáteční fáze \varphi_{1}, \varphi_{2}
, abychom dosáhli maximální/minimální amplitudy, kterou je možné z těchto vln složit.
Podmínka maxima
- oba počáteční vektory musí být souhlasně rovnoběžné -
\varphi_{1} = \varphi_{2}
\varphi_{2} - \varphi_{1} = 0 \pm n\cdot 2\pi, \quad n = 0,1,2,3,\dots
- vlny mají stejný fázový rozdíl, proto
0
- mohou se lišit o celou periodu, proto
n\cdot2\pi
- vlny mají stejný fázový rozdíl, proto
- fázový rozdíl kmitů je roven sudému násobku
\pi
- kmity jsou ve fázi
Podmínka minima
- oba počáteční vektory musí být nesouhlasně rovnoběžné -
\varphi_{2} - \varphi_{1} = \pm\pi
\varphi_{2} - \varphi_{1} = \pi \pm n\cdot 2\pi, \quad n = 0,1,2,3,\dots
- vlny jsou vůči sobě posunuty o
\pi
- mohou se opět lišit o celou periodu
- vlny jsou vůči sobě posunuty o
\varphi_{2} - \varphi_{1} = \pm(2n+1)\pi
- fázový rozdíl kmitů je roven lichému násobku
\pi
- kmity jsou v protifázi
Aplikace
- mechanické konstrukce (namáhání materiálu)
- elektrické obvody (zesílení/zeslabení výsledného signálu)
- interferenční a difrakční přístroje
Definujte a vysvětlete fotometrické veličiny
- světelný tok (jak se liší od zářivého toku)
- svítivost a jas - přesné definice a vysvětlení (také použítých veličin) (obrázky)
- co to je izotropní bodový zdroj a homogenní izotropní plošný zdroj
Světelný tok (jak se liší od zářivého)
- fotometrická veličina, která měří energii elektromagnetického záření v oblasti viditelného světla
- zářivý tok (radiometrická veličina) měří veškerou energii elektromagnetického záření (tedy nejen viditelnou část)
- jde o efektivní část zářivé energie (té, která vyvolává zrakový vjem), prošlá či dopadlá za jednotku času na plochu
S
ve stanoveném směru - jednotkou je 1 lumen (lm)
\displaystyle\phi = \frac{dW}{dt}[\text{lm}]
Svítivost a jas - definice a vysvětlení
Svítivost
- fotometrická veličina analogická zářivosti (radiometrická veličina)
- udává intenzitu světelného toku vysílaného bodovým zdrojem v určitém směru, tedy do malého prostorového úhlu
d\Omega
- definována jako podíl světelného toku vysílaného bodovým zdrojem a malého prostorového úhlu
d\Omega
- jednotkou je 1 kandela (cd)
\displaystyle I = \frac{d\phi}{d\Omega} \, [cd]
Jas (měrná svítivost)
- fotometrická veličina analogická záři
- definován jako podíl
- svítivosti elementární části povrchu
S
plošného zdroje ve zvoleném směru stanoveným úhlem\alpha
od kolmice plochy - její zdánlivé velikosti v tomto směru (jejího průmětu do roviny kolmé k tomuto směru)
- svítivosti elementární části povrchu
- měří, jak "jasný" se zdroj jeví z určitého úhlu
- jednotkou je 1 nit (nt)
\displaystyle L = \frac{dI}{dS\cdot \cos \alpha} \, [nt]
Izotropní bodový zdroj a homogenní izotropní plošný zdroj
Izotropní bodový zdroj
- zdroj elektromagnetického záření, jehož rozměny jsou natolik malé, že je možno je zanedbat a považovat tento zdroj za bodový
- např. oproti vzdálenosti
r
od místa pozorování, např. od plochyS
- např. oproti vzdálenosti
- izotropní - má konstantní zářivost ve všech směrech vyzařování
Homogenní izotropní plošný zdroj
- zdroj elektromagnetického záření, který má danou plochu
S
- izotropní - má konstantní zářivost ve všech směrech vyzařování
- homogenní - ve všech místech svítí zdroj stejně
Dodatková otázka: Těžiště
- základní vlastnosti těžiště soustavy hmotných bodů (tělesa), odvoďte vztah pro jeho polohu
- proč říkáme, že těžiště je rovnovážný bod tělesa?
- jak je těžiště užitečné pro popis pohybu celého tělesa?
Základní vlastnosti těžiště, vztah pro jeho polohu
Máme soustavu hmotných bodů, které chceme vyjádřit jako jeden, kterému se přiřadí celková rychlost i působiště výsledné síly.
- nazveme jej hmotným středem soustavy
Hmotnost těžiště
- součet hmotností všech hmotných bodů
m_{0} = m = m_{1} + m_{2} + \dots + m_{N} = \sum^N_{k=1} m_{k}
Poloha (průvodič) těžiště \vec{r}_{0}
Rychlost těžiště
\displaystyle\vec{v}_{0} = \frac{d\vec{r}_{0}}{dt}
(derivace průvodiče)
Hybnost těžiště
\displaystyle p_{0} = m\cdot \vec{v}_{0} = m\frac{d\vec{r}_{0}}{dt}
- hybnost těžiště
\vec{p}_{0}
musí být rovna celkové hybnosti soustavy\vec{P}
\vec{p}_{0} = \vec{P}
Vzorec pro polohu těžiště
- dosadíme do vzorce
\vec{p}_{0} = \vec{P}
\displaystyle m\frac{d\vec{r}_{0}}{dt} = \sum^N_{k=1} m_{k} \frac{d\vec{r}_{k}}{dt}
\displaystyle\frac{d}{dt}m\vec{r}_{0} = \frac{d}{dt} \sum^N_{k=1} m_{k}\vec{r}_{k}
\displaystyle m\vec{r}_{0} = \sum^N_{k=1} m_{k}\vec{r}_{k} + \text{konst}
- z rovnosti derivací plyne rovnost funkcí - až na libovolnou konstantu
- pro zjištění polohy těžiště se používá nulová konstanta
\displaystyle\vec{r}_{0} = \frac{1}{m}\sum^N_{k=1}m_{k}\vec{r}_{k}
Proč říkáme, že těžiště je rovnovážný bod tělesa?
Pokud těleso podepřeme (nebo zavěsíme) v těžišti, součet všech vnějších sil bude nulový a těleso bude v klidu - proto se jedná o rovnovážný stav.
- podepřením (nebo zavěšením) tělesa v těžišti zajistíme, že součet všech vnějších sil je nulový - pak soustava hmotných bodů musí zůstat v klidu
Jak je těžiště užitečné pro popis pohybu celého tělesa?
Za pomoci těžiště jsme schopni nahradit soustavu hmotných bodů za jeden hmotný bod.