8.4 KiB
Prostory se skalárním součinem
Skalární součin
Nechť U
je lineární vektorový prostor nad \mathbb{R}
. Zobrazení (\vec{x}, \vec{y}):U \times U \to \mathbb{R}
splňující vlastnosti
(\vec{x}, \vec{x}) \geq 0
pro každé\vec{x} \in U; (\vec{x}, \vec{x}) = 0
, právě když\vec{x} = \vec{o}
,(\vec{x}, \vec{y}) = (\vec{y}, \vec{x}) \space \forall \vec{x}, \vec{y} \in U
,(k\vec{x}, \vec{y}) = k(\vec{x}, \vec{y}) \space \forall \vec{x}, \vec{y} \in U
a\forall k \in \mathbb{R}
(\vec{x} + \vec{y}, \vec{z}) = (\vec{x}, \vec{z}) + (\vec{y}, \vec{z}) \space \forall \vec{x}, \vec{y}, \vec{z} \in U
,
se nazývá skalární součin.
Skalární součin v prostorech nad \mathbb{C}
Nechť U
je lineární vektorový prostor nad C
. Zobrazení (\vec{x}, \vec{y}) : U \times U \to \mathbb{C}
splňující vlastnosti
(\vec{x}, \vec{x}) \geq 0
pro každé\vec{x} \in U; (\vec{x}, \vec{x}) = 0
, právě když\vec{x} = \vec{o}
,(\vec{x}, \vec{y}) = \overline{(\vec{y}, \vec{x})} \space \forall \vec{x}, \vec{y} \in U
,(k\vec{x}, \vec{y}) = k(\vec{x}, \vec{y}) \space \forall \vec{x}, \vec{y} \in U
a\forall k \in \mathbb{C}
(\vec{x} + \vec{y}, \vec{z}) = (\vec{x}, \vec{z}) + (\vec{y}, \vec{z}) \space \forall \vec{x}, \vec{y}, \vec{z} \in U
,
se nazývá skalární součin. L.V.P. se skalárním součinem se nazývá Unitární prostor.
Vše zde funguje jako v Eukleidovském prostoru, až na Pythagorovu větu, kde neplatí opačná implikace, tj.
platí-li rovnost \Vert \vec{x} + \vec{y} \Vert^2 = \Vert \vec{x} \Vert^2 + \Vert \vec{y} \Vert^2
, potom nemusí platit, že \vec{x} \perp \vec{y}
.
Eukleidovský prostor
Lineární vektorový prostor se skalárním součinem se nazývá Eukleidovský prostor.
Příklad:
\mathbb{R}^3 : (\vec{x}, \vec{y}) = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + x_{3}y_{3}
\displaystyle \mathbb{R}^n : (\vec{x}, \vec{y}) = x_{1}y_{1} + x_{1}y_{1} + \dots + x_{n}y_{n} = \sum^n_{i=1} x_{i}y_{i}
\displaystyle C(0, 1) : (f, g) = \int^1_{0} f(x) \cdot g(x) \, dx
\displaystyle \mathbb{P}_{n} : (p(x); q(x)) = \int^b_{a} p(x) \cdot q(x) \, dx
V Eukleidovském prostoru platí (pro každé k \in \mathbb{R}
a \vec{x}, \vec{y}, \vec{z} \in U
):
(\vec{x}, k\vec{y}) = k(\vec{x}, \vec{y})
(\vec{x}, \vec{y} + \vec{z}) = (\vec{x}, \vec{y}) + (\vec{x}, \vec{z})
(\vec{x}, \vec{o}) = (\vec{o}, \vec{x}) = 0
Cauchy-Schwarzova nerovnost - Je-li U
Eukleidovský prostor, potom pro každé \vec{x}, \vec{y} \in U
platí
(\vec{x}, \vec{y})^2 \leq (\vec{x}, \vec{x}) \cdot (\vec{y}, \vec{y})
.
Norma
Norma v lineárním vektorovém prostoru U
je zobrazení \Vert \vec{x} \Vert : U \to \mathbb{R}
s vlastostmi
\Vert \vec{x} \Vert \geq 0 \, \forall \vec{x} \in U;\space \Vert \vec{x} \Vert = 0
, právě když\vec{x} = \vec{o}
,\Vert k\vec{x} \Vert = \vert k \vert \cdot \Vert \vec{x} \Vert \ \forall\vec{x} \in U
a\forall k \in \mathbb{R}
,\Vert \vec{x} + \vec{y} \Vert \leq \Vert \vec{x} \Vert + \Vert \vec{y} \Vert \ \forall \vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}
.
Je-li U
Eukleidovský prostor, potom \Vert \vec{x} \Vert = \sqrt{ (\vec{x}, \vec{x}) }
je norma. Nazývá se norma indukovaná sklárním součinem.
Pro dva prvky x, y
libovolného L.V.P. U
lze definovat úhel dvou prvků
$$
\displaystyle \phi = \arccos \frac{(\vec{x}, \vec{y})}{\Vert \vec{x} \Vert \cdot \Vert \vec{y} \Vert}
a vzdálenost dvou prvků d(\vec{x}, \vec{y}) = \Vert \vec{x} - \vec{y} \Vert
. Vzdálenosti se obvykle říká metrika a příslušnému prostoru metrický prostor.
Ortogonalita
Dva prvky \vec{x}, \vec{y}
Eukleidovského prostoru U
jsou ortogonální (kolmé), jestliže (\vec{x}, \vec{y}) = 0
.
- Píšeme
\vec{x} \perp \vec{y}
. - Množiny
X, Y, \subset U
jsou ortiginální, jestliže\vec{x} \perp \vec{y}
pro každé\vec{x} \in X
a\vec{y} \in Y
.
Každá podmnožina Eukleidovského prostoru, jejíž prvky jsou nenulové a navzájem ortogonální, je LN.
- Žádný ze vzájemně kolmých vektorů není možné vyjádřit jako LK ostatních.
Pythagorova věta
Nechť U
je Eukleidův prostor, \vec{x}, \vec{y} \in U
. Potom
$$
\vec{x} \perp \vec{y} \iff \Vert \vec{x} + \vec{y} \Vert^2 = \Vert \vec{x} \Vert^2 + \Vert \vec{y} \Vert^2.
Ortogonální báze
Báze Eukleidovského prostoru U
, jejíž každé dva prvky jsou ortogonální.
- např. kanonická báze
V každém Eukleidovském prostoru konečné dimenze existuje ortogonální báze.
Gram-Schmidtův ortogonalizační proces
- určení ortogonální báze ze zadané báze
-
Mějme v
U
bázi\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \dots, \vec{b}_{n};
hledáme ortogonální bázi\vec{g}_{1}, \vec{g}_{2}, \dots, \vec{g}_{n}
. -
Položíme
\vec{g}_{1} = \vec{b}_{1}
. -
Určíme
\displaystyle \vec{g}_{2} = \vec{b}_{2} - \frac{\vec{b}_{2}, \vec{g}_{1}}{(\vec{g}_{1}, \vec{g}_{1})} \vec{g}_{1}
, což je ortogonální (kolmý) průmět vektoru\vec{b}_{2}
do přímky dané vektorem\vec{g}_{1}
. Platí, že\vec{g}_{2} \perp \vec{g}_{1}
. -
Obecně hledáme
\vec{g}_{k}
jako\vec{b}_{k} - \overline{\vec{b}_{k}}
, kde\overline{\vec{b}_{k}}
je ortogonální průmět prvku\vec{b}_{k}
do podprostoru s ortogonální bází\vec{g}_{1}, \vec{g}_{2}, \dots, \vec{g}_{k-1}
. Tedy: $$ \displaystyle \vec{g}{k} = \vec{b}{k} - \biggl( \frac{(\vec{b}{k}, \vec{g}{1})}{(\vec{g}{1}, \vec{g}{1})} \vec{g}{1} + \frac{(\vec{b}{k}, \vec{g}{2})}{(\vec{g}{2}, \vec{g}{2})} \vec{g}{2} + \dots + \frac{(\vec{b}{k}, \vec{g}{k-1})}{(\vec{g}{k-1}, \vec{g}{k-1})} \vec{g}_{k-1} \biggr). -
Pak jistě
\vec{g}_{k} \perp \vec{g}_{1}, \vec{g}_{k} \perp \vec{g}_{2}, \dots, \vec{g}_{k} \perp \vec{g}_{k-1}
.
Ortogonální průmět
Mějme Eukleidovský prostor U
, jeho podprostor V
a v něm generátor (ne nutně bázi) \vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \dots, \vec{b}_{k}
. Máme určit ortogonální průmět \overline{\vec{x}}
prvku \vec{x} \in U
do V
.
- Víme, že
\vec{x} - \overline{\vec{x}} \perp \vec{b}_{i}
pro každéi = 1, 2, \dots, k
. - Dále:
\overline{\vec{x}} \in V
, tedy\overline{\vec{x}} = a_{1}\vec{b}_{1} + a_{2}\vec{b}_{2} + \dots + a_{k}\vec{b}_{k}
(je to LK generátorů).
Pro každé i = 1, 2, \dots, k
platí:
$$
0 = (\vec{b}{i}, \vec{x} - \overline{\vec{x}}) = (\vec{b}{i}, \vec{x} - a_{1}\vec{b}{1} + a{2}\vec{b}{2} + \dots + a{k}\vec{b}{k}) = (\vec{b}{i}, \vec{x}) - a_{1}(\vec{b}{i}, \vec{b}{1}) - a_{2}(\vec{b}{i}, \vec{b}{2}) - \dots - a_{k}(\vec{b}{i}, \vec{b}{k}).
Dostaneme tak soustavu rovnic:
$$
\begin{matrix}
(\vec{b}{1}, \vec{b}{1})a_{1} + (\vec{b}{1}, \vec{b}{2})a_{2} + \dots + (\vec{b}{1}, \vec{b}{k})a_{k} = (\vec{b}{i}, \vec{x}) \qquad i=1 \
(\vec{b}{2}, \vec{b}{1})a{1} + (\vec{b}{2}, \vec{b}{2})a_{2} + \dots + (\vec{b}{2}, \vec{b}{k})a_{k} = (\vec{b}{2}, \vec{x}) \qquad i=2 \
\vdots \qquad\qquad \vdots \qquad\qquad \vdots \qquad\qquad \vdots \
(\vec{b}{k}, \vec{b}{1})a{1} + (\vec{b}{k}, \vec{b}{2})a_{2} + \dots + (\vec{b}{k}, \vec{b}{k})a_{k} = (\vec{b}_{k}, \vec{x}) \qquad i=k
\end{matrix}
tedy Gramovu matici:
$$ \begin{bmatrix} (\vec{b}{1}, \vec{b}{1}) & (\vec{b}{1}, \vec{b}{2}) & \dots & (\vec{b}{1}, \vec{b}{k}) \ (\vec{b}{2}, \vec{b}{1}) & (\vec{b}{2}, \vec{b}{2}) & \dots & (\vec{b}{2}, \vec{b}{k}) \ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \ (\vec{b}{k}, \vec{b}{1}) & (\vec{b}{k}, \vec{b}{2}) & \dots & (\vec{b}{k}, \vec{b}{k}) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{1} \ a_{2} \ \vdots \ a_{3} \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
(\vec{b}{1}, \vec{x}) \
(\vec{b}{2}, \vec{x}) \
\vdots \
(\vec{b}_{k}, \vec{x})
\end{bmatrix}
- Je-li
\{ \vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \dots, \vec{b}_{k} \}
ortogonální báze, potom Gramova matice je diagonální. - Gramova matice je regulární, právě když množina vektorů
\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \dots, \vec{b}_{k}
je LN.
Zřejmě \overline{\vec{x}}
je nejbližším vektorem k \vec{x}
ve V
.
Je-li V
podprostorem prostoru U
a \vec{x} \notin V
, potom existuje právě jeden prvek \overline{\vec{x}}
takový, že \vec{x} - \overline{\vec{x}} \perp V
a \overline{\vec{x}} \in V
.
- Pro každý vektor
\vec{y} \in V
platí\Vert \vec{x} - \vec{y} \Vert \geq \Vert \vec{x} - \overline{\vec{x}} \Vert
a rovnost nastává, právě když\vec{y} = \overline{\vec{x}}
.