122 lines
No EOL
6.2 KiB
Markdown
122 lines
No EOL
6.2 KiB
Markdown
# Teorie informace
|
|
|
|
**Informace**
|
|
- Norbert Wiener: Informace je název pro obsah toho, co si vyměňujeme s vnějším světem, když se mu přizpůsobujeme a působíme na něj svým přizpůsobováním.
|
|
- Informace = poznatky o prostředí, objektech, jevech a procesech v něm probíhajících
|
|
- snižuje nebo odstraňuje neurčitost (entropii) přijímacího systému
|
|
- forma:
|
|
- text, obraz, řečový signál, ...
|
|
- nosič:
|
|
- křídový prášek na tabuli, elektrický signál, optický signál, elektromagnetiké vlnění, ...
|
|
|
|
### Model sdělovací soustavy
|
|
|
|
- cíle sdělování
|
|
- přenést informaci v prostoru (přenos dat)
|
|
- přenést informaci v čase (záznam dat na paměťové médium)
|
|
- informace je nutné reprezentovat vhondou fyzikální veličinou, která umožní dálkový přenos nebo záznam na paměťové médium
|
|
- informace proto musí být **vhodně zakódována**
|
|
|
|
Jedná se o abstraktní model, který vyhovuje úvahám o přenosu i záznamu informace.
|
|
- schéma (informace cestuje od shora dolů)
|
|
- **ZI** - model zdroje informace
|
|
- *průběh signálu - $U(t)$*
|
|
- **K** - kodér
|
|
- *průběh signálu - $V(t)$*
|
|
- kanál/médium (na něj působí rušení **R** modelem $\epsilon$)
|
|
- *průběh signálu - $V'(t)$*
|
|
- **D** - dekodér
|
|
- *průběh signálu - $U'(t)$*
|
|
- **PI** - příjemce informace
|
|
- průběh signálů mezi všemi částmi (a rušení) je určen matematickými modely (jsou to obecně náhodné procesy)
|
|
+ pouze v případě nulového rušení $\epsilon$ platí $V't = V(t)$
|
|
+ cílem přenosu/záznamu je, aby platilo $U'(t) = U(t)$
|
|
+ součástí kodéru i dekodéru bývají mechanizmy pro eliminaci (či minimalizaci) důsledků rušení
|
|
|
|
#### Klasifikace zdrojů informace a kanálů
|
|
|
|
Zdroj informace
|
|
- **diskrétní**
|
|
- generuje informaci v diskrétních časových okamžicích, zpráva reprezentována řetězcem prvků nad abecedou zdroje
|
|
- **spojitý**
|
|
- zpráva reprezentována spojitou funkcí času
|
|
|
|
Sdělovací kanál
|
|
- **diskrétní**
|
|
- přenáší pouze znaky z nějaké konečné množiny
|
|
- **spojitý**
|
|
- je schopen přenášet spojitý signál s charakteristikou v určitém omezeném rozsahu (např. frekvenční charakteristika)
|
|
|
|
Funkce kodéru
|
|
- transformovat zdrojové zprávy tak, aby byly přenositelné sdělovacím kanálem
|
|
|
|
**Vztah mezi zdrojem informace a kanálem**
|
|
- diskrétní zdroj, diskrétní kanál
|
|
- množina znaků zdroje a množina znaků kanálu nemusí být stejné, mohou mít různý počet znaků
|
|
- kodér řeší kódování znaků abecedy zdroje do řetězců abecedy kanálu
|
|
- spojitý zdroj, spojitý kanál
|
|
- frekvenční spektrum signálu zdroje nemusí odpovídat frekvenčnímu pásmu kanálu
|
|
- kodér řeší přeložení frekvenčního pásma, provádí spojitou analogovou modulaci signálu
|
|
- diskrétní zdroj, spojitý kanál
|
|
- kodér řeší modulaci hranatého signálu (posloupnost znaků zdroje) do frekvenčního pásma kanálu
|
|
- spojitý zdroj, diskrétní kanál
|
|
- kodér řeší vzorkování (v čase), kvantování (v úrovních) spojitého signálu a následné kódování vzorku
|
|
- **Nyquistův-Shannonův vzorkovací teorém**: přesná rekonstrukce spojitého frekvenčně omezeného signálu z jeho vzorků je možná pouze tehdy, pokud byla vzorkovací frekvence vyšší než dvojnásobek maximální frekvence obsažené ve spektru vzorkovaného signálu
|
|
- počet úrovní, do kterých lze signál kvantovat, je omezen kapacitou kanálu
|
|
|
|
### Model diskrétního zdroje informace
|
|
|
|
Diskrétní zdroj informace **bez paměti**
|
|
- zdroj, kde vysílání jednotlivých znaků tvoří nezávislé jevy
|
|
- vyslaný znak je statisticky nezávislý na tom, jaké znaky zdroj dosud vyslal
|
|
|
|
#### TODO
|
|
|
|
**Elementární entropie**
|
|
- elementární entropie $H(x_{i})$ písmene $x_{i}$ je funkcí pravděpodobnosti tohoto písmene $H(x_{i}) = f(p(x_{i}))$
|
|
- platí, že $p_{1} < p_{2} \implies f(p_{1}) > f(p_{2})$ (funkce je klesající)
|
|
- v případě nezávislých jevů je elementární entropie aditivní, tedy $f(p_{1} \cdot p_{2}) = f(p_{1}) + f(p_{2})$
|
|
- pravděpodobnost toho, že současně nastanou dva nezávislé jevy je rovna součinu jejich pravděpodobností
|
|
- podmínkám vyhovuje $f(x) = -\log(x)$ při libovolném základu větším než 1
|
|
- elementární entropie písmene $x_{i} : H(x_{i}) = -\log_{2} p(x_{i}) \quad [\text{bit}]$
|
|
|
|
**Střední entropie zdroje**
|
|
- vztahuje se k celé abecedě, závisí na rozložení pravděpodobnosti mezi všechna písmena
|
|
- je střední hodnotou elementárních entropií
|
|
- každé písmeno $x_{i}$ má pravděpodobnost $p(x_{i})$, součet pravděpodobností všech písmen je roven 1
|
|
|
|
$$
|
|
H(X) = -\sum_{i=1}^{r} p(x_{i}) \log_{2} p(x_{i})
|
|
$$
|
|
- pro účely definice $p(x_{i}) = 0 \implies p(x_{i}) \cdot \log_{2} p(x_{i}) \approx \lim_{ x \to 0+ } (x \cdot \log_{2} x) = 0$
|
|
- velikost $0 \leq H(X) \leq \log_{2}r$
|
|
- $H(X) = 0$
|
|
- pokud může nastávat jediná realizace
|
|
- $H(X) = \log_{2}r$
|
|
- pokud všechny realizace mají stejnou pravděpodobnost $\frac{1}{r}$
|
|
|
|
Elementární informace $I(x_{i})$ připadající na písmeno $x_{i}$
|
|
- $I(x_{i}) = H(x_{i}) = -\log_{2} p(x_{i})$
|
|
|
|
**Informační vydatnost $I(X)$ zdroje** $X$
|
|
- velikost informace, kterou přinesl náhodný jev = rozdíl neurčitosti ve sledované veličině **před** tím, než jev nastal, a **po** tom, co jev nastal
|
|
- u zdroje informace má smysl hledat
|
|
- kolik informace jev **přinesl**
|
|
- kolik informace jev **může přinést**
|
|
|
|
$$
|
|
I(X) = H(X) = - \sum_{i=1}^r p(x_{i}) \log_{2} p(x_{i})
|
|
$$
|
|
|
|
**Redundance zdroje**
|
|
- zdroj informace: $X = \{0, 1\}, p(x_{1}) = 0.5, p(x_{2}) = 0.5$
|
|
- přenášeno nespolehlivým kanálem, znak zakódujeme trojnásobným opakováním
|
|
- redundance zdroje:
|
|
- $H(X) = -(0.5 \log_{2} 0.5 + 0.5 \log_{2} 0.5) = -\log_{2} 0.5 = 1$
|
|
- $\rho = 1 - \frac{H(X)}{\log_{2}r} = 1 - \frac{1}{\log_{2}2} = 0$ (redundance zdroje nulová)
|
|
- redundance po zakódování:
|
|
- znaky kódovány do trojic, těch může být celkem 8 ($r = 8$)
|
|
- zakódováním ale získáme pouze dvě trojice (000, 111), obě s pravděpodobností 0.5
|
|
- pravděpodobnosti výskytu jiných trojic na vstupu kanálu jsou nulové
|
|
- $H(X) = -(0.5 \log_{2} 0.5 + 0.5 \log_{2} 0.5) = -\log_{2} 0.5 = 1$
|
|
- $\rho = 1 - \frac{H(X)}{\log_{2}r} = 1 - \frac{1}{\log_{2}8} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ (dva znaky ze tří jsou nadbytečné) |