3.7 KiB
Booleova algebra
Distributivní komplementární svaz se nazývá Booleův svaz nebo Booleova algebra.
Operace spojení \vee
se značí symbolem +
, operace průsek \wedge
symbolem \cdot
.
Obsahuje 2^n
prvků. (2, 4, 8, 16, ...)
Booleovský kalkulus
Nechť X
je Booleova algebra, a, b, c \in X
. Potom platí:
spojení | průsek | vlastnost | |
---|---|---|---|
S1 | a+a=a |
a\cdot a=a |
idempotentnost |
S2 | a+b=b+a |
a\cdot b=b\cdot a |
komutativita |
S3 | a+(b+c)=(a+b)+c |
a\cdot (b\cdot c) = (a\cdot b)\cdot c |
asociativita |
S4 | a+(a\cdot b) = a |
a\cdot(a+b)=a |
absorbce |
D | a\cdot(b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c) |
a+(b\cdot c)=(a+b)\cdot(a+c) |
distributivita |
N1 | a+0=a |
a\cdot1=a |
neutrální prvky |
N2 | a+1=1 |
a\cdot0=0 |
neutrální prvky |
K1 | \overline 0 = 1 |
\overline 1 = 0 |
komplementy |
K2 | a + \overline a = 1 |
a \cdot \overline a = 0 |
komplementarita |
K3 | \overline{(\overline a)} = a |
involutornost | |
K4 | \overline{a+b}=\overline a \cdot \overline b |
\overline{a\cdot b}=\overline a + \overline b |
De Morganovy zákony |
Atom
Nechť X
je Booleova algebra. Nenulový prvek a \in X
takový, že pro každý prvek x \in X, x\neq a
platí x \wedge a = 0
nebo x \wedge a = a
, se nazývá atom algebry X
.
- tedy dolní hranice prvku
a
a libovolnéhox
je tedy0
neboa
Atomy existují v každé Booleově algebře. Existovat nemusí pouze v nekonečných Booleových algebrách.
Nechť X
je Booleova algebra, x \in X
. Potom existují prvky y, z \in X
takové, že y\neq x, z\neq x,y \vee z = x
právě tehdy, když x
není ani nulový prvek ani atom X
.
- prvky
x, y, z
jsou rozdílné a horní hranicey, z
jex
tehdy, pokudx
není nulový ani atom
Nechť X
je konečná Booleova algebra a x \in X
je libovolný nenulový prvek, potom platí, že
x = a_{1} \vee a_{2} \vee \dots \vee a_{k}
,
kde a_{1}, \dots, a_{k}
jsou všechny atomy X
, pro které a_{i} \leq x, i =1, \dots, k
.
TODO: 5. přednáška
Direktní součin Booleovy algebry
Nechť B_{1} = (X, \leq_{1}), B_{2} = (Y, \leq_{2})
jsou Booleovy algebry. Potom se direktním součinem Booleových algeber B_{1} \times B_{2}
rozumí Booleova algebra B = B_{1} \times B_{2} = (X \times Y, \leq)
, kde platí (a_{1}, a_{2}) \leq (b_{1}, b_{2}) \iff a_{1} \leq_{1} b_{1} \wedge a_{2} \leq_{2} b_{2}
.
Příklad: Mějme Booleovy algebry B_{1}, B_{2}
.
B_{1} = \{0_{1}, 1_{1}\} \quad B_{2} = \{0_{2}, 1_{2}\}
B_{1} \times B_{2} = \{(0_{1}, 0_{2}), (0_{1}, 1_{2}), (1_{1}, 0_{2}), (1_{1}, 1_{2})\}
Důsledek: Každá Booleova algebra B
je izomorfní s B_{2}^n
, kde n
je počet atomů B
.
B_{2}^2 = B_{2} \times B_{2}, \quad B_{2}^3 = B_{2} \times B_{2} \times B_{2}
B_{2}^4
- hyperkrychle (4-rozměrná)