1.8 KiB
1.8 KiB
Zadání
Homogenní válec o poloměru R a hmotnosti m se beze smyku valí po nakloněné rovině ve směru spádnice. Délka nakloněné roviny je s, úhel jejího sklonu je α. V nejvyšším bodě byl válec v klidu a pohybuje se jen vlivem vlastní tíhy. Vypočítejte, jakou rychlost bude mít těžiště válce při opuštění nakloněné roviny.
R
- poloměr válcem
- hmotnost válces
- délka nakloněné roviny (NR)\alpha
- úhel sklonu NRv = \, ?
- rychlost válce
tíhové pole \to
konzervativní \implies
zákon zachování mechanické energie
W_{kin} + W_{pot} = \text{konst.}
- musí tedy platit
W_{kin1}+W_{pot1} = W_{kin2}+W_{pot2}
- v místech 1 (nahoře) a 2 (dole)
výška
h = \sin \alpha \cdot s
(viz. obrázek)
pro valení válce bez prokluzu platí
v \cdot T = 2\pi R
T
- perioda jednoho otočení- upravíme na tvar níže
\displaystyle \frac{v}{R} = \frac{2\pi}{T} = \omega
(úhlová rychlost)
J = \frac{1}{2} m R^2
Výpočet
upravíme vzorec
\emptyset + m \cdot g \cdot h = \left( \frac{1}{2}m \cdot v^2 \right) + \left( \frac{1}{2}J \cdot \omega^2 \right) + \emptyset
m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}J\omega^2
- dosadíme za
J, \omega
- dosadíme za
upravujeme a poté vyjádříme v^2
m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}m \cdot R^2 \right)\cdot\left( \frac{v}{R} \right)^2
\cancel{m} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2}\cancel{m}v^2 + \frac{1}{4}\cancel{m \cdot R^2} \cdot \frac{v^2}{\cancel{R^2}}
g \cdot h = \frac{3}{4}v^2 \implies v^2 = \frac{4}{3}gh
Výsledek
v^2 = \frac{4}{3}gh = \frac{4}{3} g \cdot s \cdot \sin \alpha
v = \sqrt{ \frac{4}{3} \cdot g \cdot s \cdot \sin \alpha }