2.6 KiB
2.6 KiB
Nelineární rovnice
Předpokládáme, že
- reálná funkce
f
je spojitá prox \in \langle a, b\rangle
, f(a) \cdot f(b) < 0
.
Potom existuje aspoň jedno řešení x
rovnice f(x) = 0
na \langle a,b\rangle
.
Metoda půlení intervalu
Máme interval \langle a,b\rangle
, který budeme půlit. Vypočítáme funkční hodnotu f(s_{i})
v polovině intervalu.
Pokud má funkční hodnota f(s_{i})
stejné znaménko jako funkční hodnota f(a)
, změníme a = s_{i}
, v opačném případě b = s_{i}
.
- zastavovací podmínka - velikost intervalu
- výsledek je
x = \frac{a+b}{2}
- vždy konverguje, ale velmi pomalu
Metoda prosté iterace
Postup
- z rovnice vyjádříme některé
x
x^5 - x = \ln(x+4)
do formátux_{k+1} = \sqrt[5]{ \ln(x_{k}+4) + x_{k} }
- určíme/dostaneme zadaný
\epsilon
ax_{0}
\epsilon = 0.01
x_{0} = 1
- dosazujeme hodnoty do rovnice, dokud nenastane zastavující podmínka
\vert x_{k} - x_{k-1} \vert < \epsilon
k |
x_k |
\vert x_{k} - x_{k-1}\vert |
---|---|---|
0 | 1 | - |
1 | 1,211460877 | 0,211460877 |
2 | 1,234081012 | 0,022620135 |
3 | 1,236396294 | 0,002315282 |
Postačující podmínky konvergence. Funkce \varphi
na intervalu I = \langle a,b\rangle
je spojitá a platí:
\forall x \in I : \varphi(x) \in I
(funkce\varphi
zobrazujeI
do sebe)\exists q \in \langle 0, 1) : \vert \varphi(x) - \varphi(y)\vert \leq q\vert x-y\vert \quad \forall x, y \in I
(funkce\varphi
je kontrakce)
Newtonova metoda
x_{0} = 1.236396294
- z metody prosté iterace nebo zadáno
f(x) = x^5 - x - \ln(x+4)
- vše převedeme na jednu stranu rovnice
f'(x) = 5x^4 - 1 - \frac{1}{x+4}
- derivací funkce
f(x) = x^5 - x - \ln(x+4)
- derivací funkce
Hodnotu poté x_{0}
zpřesňujeme vzorcem x_{k+1} = x_{k} - \frac{f(x_{k})}{f'(x_{k})}
- zastavovací podmínka
\vert x_{k+1} − x_k\vert < \epsilon
nebo\vert f(x_k)\vert < \delta
Geometrický význam
- také metoda tečen nebo metoda linearizace
- tvoříme tečny funkce v bodech
x_{k}
- hodnota
x_{k+1}
je průsečíkem tečny s osoux
Modifikovaná Newtonova metoda
- pokud se derivace moc nemění, můžeme místo
f'(x_{k})
využívatf'(x_{0})
- tečnou je pouze první přímka, ty následující jsou na ni kolmé
Metoda sečen
- je i pro nediferencovatelné funkce
f'(x_{k})
nahradíme za\frac{f(x_{k}) - f(x_{k-1})}{x_{k}-x_{k-1}}
- potřebujeme znát dvě počáteční hodnoty
- další iterace
x_{k+1}
je průsečíkem sečny s osoux