3.2 KiB
3.2 KiB
- Def.: matice A je totálně unimodulární, pokud determinant lib. čtvercové podmatice je
0, +1, -1
(A má prvky0, \pm1
) - Věta: incidenční matice M(G) or. grafu G je totálně unimodulární
- Věta (Cauchy-Binet): B matice typu
r \times s
, pak platí\det(B \cdot B^T) = \sum_{I} \det^2(B_{I})
, kde se sčítá přes všechny r-prvkové podmnožiny množiny sloupců B
- Věta: G slabě souvislý or. graf.
L_{R} = M_{R} \cdot M_{R}^T
, kdeM_{R}
je redukovaná inc. matice G- pak platí, že počet různých koster
G = \det L_{R}
[L_R
je red. Lapl. matice sym. or. G]
- pak platí, že počet různých koster
Incidenční matice neorientovaných grafů
- prvky M jsou 0, 1 - chápeme jako prvky tělesa
\mathbb{Z}_{2}
- řádky M jsou prvky lineárního prostoru
\mathbb{Z}_{2}^m
nad\mathbb{Z}_{2}
- spec. vektory v
\mathbb{Z}_{2}^m
jsou LN\iff \exists
jejich neprázdná podmnožina s nulovým součtem - Věta: G neorientovaný graf
- hodnost
M(G)
nad\mathbb{Z}_{2}
jen-k
\iff
mák
komponent - G souvislý, pak každých
n-1
řádků maticeM(G)
tvoří LN množinu nad\mathbb{Z}_{2}
- značení:
\text{hod}_{2}(A) \dots
hodnost A nad\mathbb{Z}_{2}
- hodnost
Matice sousednosti a počty sledů
- G or. graf, A(G) matice sousednosti
A(G) = (a_{ij}), G
mán
vrcholů,A(G)
má řádn
A^o(G) = I_{n}, I_{n}
jednotková matice řádun
A^k(G) = (a_{ij}^{(k)})
- Věta: G orientovaný graf,
k \geq 0
(celé)- pak
a_{ij}^{(k)}
maticeA^k(G)
je roven počtu $v_{i}v_{j}$-sledů délky přesněk
vG
- pak
Test nilpotentnosti 0-1-matice
- Tvrzení: or. graf G je acyklický
\iff
nějaká mocnina matice A(G) je nulová [$\exists , k \geq 0 : A^k(G) = 0$]
Vzdálenost v grafech
- Def.: G or. graf, vzdálenost
d(x,y)
vrcholu y od x je délka nejkratší xy-cesty v G- pokud v G neex. xy-sled, pak
d(x,y) = \infty
- pokud v G neex. xy-sled, pak
- analogicky pro neor. grafy
d(x,y) = d(y,x)
- Věta: G souvislý neor. graf, pak
d(x,y)
je metrikou na V(G)d(x,y) \geq 0, d(x,y) = 0 \iff x = y
[pozitivní definitnost]d(x,y) = d(y,x)
[symetrie]d(x,y) + d(y,z) \geq d(x,z)
[trojúhelníková nerovnost]
- v or. grafech neplatí 2)
- Def.: distanční matice or. grafu G s vrcholy
v_{1}, \dots, v_{n}
je matice řádu nD(G) = (d(v_{i}, v_{j}))^n_{i,j=1}
- Tvrzení: prvek
d(v_{i}, v_{j})
distanční matice D(G) je roven nejmenšímu k, pro kteréa_{ij}^{(k)} \neq 0
a pokud takové k neexistuje, pakd(v_{i}, v_{j}) = \infty
Ohodnocené grafy
- Def.: ohodnocený or. graf (G, w) je or. graf
G = (V, E)
spolu s funkcíw : E(G) \to (0, +\infty)
w(e) \dots
váha (ohodnocení) hrany e
- Pozn.: neohodnocené grafy lze (často) považovat jako ohodnocené grafy s ohodnocením 1
- Def.: vážená matice sousednosti ohodnoceného or. grafu (G, w) s vrcholy
v_{1}, \dots, v_{n}
je maticeW(G) = (w_{ij})
w_{ij} = \begin{cases} w(v_{i}, v_{j}) \quad (v_{i}, v_{j} \in E), i, j = 1, \dots, n \\ 0 \end{cases}
- Pozn.: k ohodnocenému grafu se přiřadí nezáporná čtvercová matice
- teorie nezáporných matic [Perrou/Frobenius]
- Def.: minimální cesta z u do v je každá cesta, jejíž váha je minimální
- vážená vzdálenost
d^w(u, v)
vrcholu v od u je váha (lib.) minimální cesty z u do v
- vážená vzdálenost