3.5 KiB
Svazy
Svaz je uspořádaná množina (X, \leq)
, ve které existuje supremum i infimum pro každou dvojici prvků.
Pro libovolné dva prvky a, b
svazu (X, \leq)
platí
a \leq b
právě kdyža \vee b = b
právě kdyža \wedge b = a
.
popis | inf/sup | značení |
---|---|---|
a je dolní závora a, b |
a = \inf(a, b) |
a = a \wedge b |
b je horní závora a, b |
b = \sup(a, b) |
b = a \vee b |
Princip duality
Když v libovolném pravdivém tvrzení prohodíme průsek a spojení (a uspořádání nahradíme inverzním), dostaneme opět pravdivé tvrzení.
Operace
Supremum
- značíme
x \vee y
(případně+
) - nejmenší horní závora obou prvků
- spojení (sjednocení) dvou množin
Infimum
- značíme
x \wedge y
(případně\cdot
) - největší dolní závora obou prvků
- průsek (průnik) dvou množin
Vlastnosti
Mejmě svaz X
a x, y, z \in X
. Potom platí:
supremum | infimum | vlastnost |
---|---|---|
x \vee x = x |
x \wedge x = x |
idempotentnost |
x \vee y = y \vee x |
x \wedge y = y \wedge x |
komutativita |
x \vee (y \vee z) = (x \vee y) \vee z |
x \wedge (y \wedge z) = (x \wedge y) \wedge z |
asociativita |
x \vee (y \wedge x) = x |
x \wedge (y \vee x) = x |
absorbce |
Distributivní svaz
Řekneme, že svaz (X, \leq)
je distributivní, jestliže
\forall \, x, y, z \in X
jex \wedge (y \vee z) = (x \vee y) \wedge (x \vee z)
.
Z principu duality v distributivním svazu platí rovněž x \vee (y \wedge z) = (x \wedge y) \vee (x \wedge z)
Birkhoffovo kritérium distributivity
- Svaz
(X, \leq)
je distributivní právě když neobsahuje jako podsvazX_{1}
aniX_{2}
.
Podsvaz
Nechť (X, \leq)
je svaz a Y \subset X
. Řekneme, že POSET (Y, \leq)
je podsvazem svazu (X, \leq)
, jestliže operace spojení a průseku v Y
jsou zúženími operací spojení a průseku v X
.
Vyškrtnu infimum a supremum, pokud alespoň jeden z prvků chybí v podsvazu a zbytek tabulky by měl stále platit.
Konečný svaz
Je-li (X, \leq)
konečný svaz (tj. |X|
je konečný), potom v X
existuje nejmenší i největší prvek.
- největší prvek značen jako 1
- nejmenší prvek značen jako 0
Jestliže ve svazu X
existují prvky 1 a 0, potom \forall \, x \in X
je x \vee 0 = x
a x \wedge 1 = x
.
Komplementární svaz
Nechť (X, \leq)
je svaz s prvky 0 a 1, nechť x \in X
. Prvek \overline x
, pro který platí x \vee \overline x = 1
a x \wedge \overline x = 0
, se nazývá doplněk (komplement) prvku x
. Svaz s prvky 0 a 1, v němž \forall \, x \in X : \exists \, \overline x
, se nazývá komplementární svaz.
V distributivním komplementárním svazu má každý prvek právě jeden doplněk. Takový svaz nazveme Booleovou algebrou.
De Morganovy zákony
Nechť (X, \leq)
je distributivní komplementární svaz, x, y \in X
. Potom platí:
\overline{x \vee y} = \overline x \wedge \overline y
,\overline{x \wedge y} = \overline x \vee \overline y
.