FAV-ZCU/KFY FYI1/Zkouška/Zkouškový test.md

Popište a vysvětlete inerciální a neinerciální souřadné soustavy

• základní vztahy pro průvodiče, rychlosti a zrychlení (obrázek)
• platnost 1. a 2. Newtonova zákona v těchto soustavách
• co jsou to Galileovy transformace a za jakých podmínek platí
• kdy působí setrvačné síly (tři druhy těchto sil) a kam směřují (obrázek)

Základní vztahy pro průvodiče, rychlosti a zrychlení (obrázek)

Inerciální soustavy (inercie = setrvačnost)

• vztažná soustava, která se pohybuje rovnoměrně přímočaře nebo je v klidu
  • rovnoměrně - rychlost se v čase nemění
  • přímočaře - směr se v čase nemění
• Newtononovy zákony platí bez jakýchkoliv úprav

Neinerciální soustavy

• vztažná soustava, která se pohybuje zrychleně (např. zrychleně rovnoměrně, po kruhové dráze, ...)
• kromě skutečných sil brány v úvahu také zdánlivé (inertní) síly
  • Eulerova (setrvačná) síla, odstředivá síla, Coriolisova síla
• pro použití Newtonových zákonů je potřeba přidávat tyto zdánlivé síly

Máme dvě vzájemně nezávislé soustavy S a S', ve kterých pozorujeme stejný hmotný bod m

• osy zůstávají rovnoběžné a pohybují se vůči sobě (posuvný pohyb nebo-li translace)

Průvodiče jsou vektory polohy r, r' závisící na čase t

• vedou od počátku souřadnicového systému k poloze tělesa m
• pokud se těleso pohybuje v dané soustavě, průvodič se v čase mění a jeho změna určuje rychlost tělesa v dané soustavě

Z obrázku je zřejmý vztah pro průvodiče

• \displaystyle\vec{r} = \vec{r}' + \vec{R}

Derivace podle času - vztah pro rychlost

• \displaystyle\frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d\vec{r}'}{dt} + \frac{d\vec{R}}{dt}
  • můžeme upravit, rychlost je vyjádřena jako v = \frac{dr}{dt}
• \vec{v} = \vec{v}' + \vec{u}
  • \vec{v} je rychlost bodu v soustavě S
  • \vec{v}' je rychlost stejného bodu v soustavě S'
  • \vec{u} je unášivá rychlost, tedy rychlost, s jakou se soustava S' pohybuje vzhledem k soustavě S (hmotný bod je soustavou unášen)

Derivace vzorce rychlosti podle času - vztah pro zrychlení

• \displaystyle\frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d\vec{v}'}{dt} + \frac{d\vec{u}}{dt}
  • můžeme upravit, zrychlení je časovou derivací rychlosti
• \vec{a} = \vec{a}' + \vec{a}_{u}
  • \vec{a} je zrychlení bodu v soustavě S
  • \vec{a}' je zrychlení stejného bodu v soustavě S'
  • \vec{a}_{u} je unášivé zrychlení soustavy S' vůči soustavě S

Platnost 1. a 2. Newtonova zákona v těchto soustavách

První Newtonův zákon (zákon setrvačnosti)

• Těleso setrvává v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu, pokud na něj nepůsobí žádná výsledná síla (součet všech sil).

Druhý Newtonův zákon (zákon síly)

• Zrychlení tělesa je přímo úměrné výsledné síle působící na těleso a nepřímo úměrné jeho hmotnosti. Tento vztah je vyjádřen rovnicí \vec{F} = m\vec{a}.
  • hmotnost je míra setrvačnosti, brání v pohybu

Rovnoměrný přímočarý pohyb soustavy S' vůči soustavě S

• unášivá rychlost mezi soustavami je konstantní
  • \vec{u} = \text{konst.}
• v soustavě S platí pro těleso zákon setrvačnosti (1. NZ)
  • těleso se bez působení sil pohybuje v soustavě S rovnoměrným přímočarým pohybem nebo je v klidu
  • rychlost v soustavě S je tedy konstantní včetně nuly
    • \vec{v} = \text{konst.}
  • z výše uvedených vztahů plyne, že rychlost v soustavě S' bude také konstantní
    • \vec{v}' = \vec{v} - \vec{u} = \text{konst.}
  • zákon setrvačnosti platí v obou soustavách, nazývají se tedy inerciální (setrvačné)
  • v těchto soustavách platí Galileovy transformace
• platnost 2. NZ v soustavě S'
  • předpokládejme, že pro hmotný bod v soustavě S neplatí 1. NZ, ale působením těles se začal pohybovat podle zákona síly: \vec{F} = m\vec{a}
  • při konstantní unášivé rychlosti \vec{u} soustavy S' je její unášivé zrychlení nulové
    • \displaystyle\vec{a}_{u} = \frac{d\vec{u}}{dt} = \frac{d}{dt}(\text{konst}) = 0
  • ze vztahů plyne rovnost zrychlení \vec{a}' = \vec{a} - \vec{a}_{u} = \vec{a}
  • pohybová rovnice v S' má tedy tvar
    • m\cdot \vec{a}' = m\cdot(\vec{a}-\vec{a}_{u}) = m\cdot \vec{a} = \vec{F} = \vec{F}'
  • v obou soustavách jsou tedy stejná zrychlení i stejné síly
    • pohybová rovnice tedy platí v nezměněném tvaru v každé inerciální soustavě
    • pohybové rovnice jsou invariantní (nezměněné) vůči Galileově transformaci

Nerovnoměrný křivočarý (posuvný) pohyb soustavy S' vůči soustavě S

• pohyb musí být stále translací (osy se tedy neotáčí)
• unášivá rychlost je nyní obecně proměnnou veličinou
  • rychlost může měnit velikost, směr i orientaci
  • \vec{u} \neq \text{konst.}
  • unášivé zrychlení je tedy nenulové
    • \displaystyle\vec{a}_{u} = \frac{d\vec{u}}{dt} \neq 0
• platnost 1. NZ v soustavě S'
  • v případě konstantní rychlosti tělesa v soustavě S nebude v S' rychlost konstantní
    • \vec{v}' = \vec{v} - \vec{u} \neq \text{konst.}
  • kvůli tomu v soustavě S' neplatí zákon setrvačnosti a jedná se tak o neinerciální soustavu
• platnost 2. NZ v soustavě S'
  • jelikož je unášivé zrychlení nenulové, tak je zrychlení bodu v soustavě S' odlišné od zrychlení stejného bodu v soustavě S
    • \vec{a}' = \vec{a} - \vec{a}_{u} \neq \vec{a}
  • pohybová rovnice v S' má poté tvar
    • m\cdot \vec{a}' = m\cdot(\vec{a} - \vec{a}_{u}) = m\cdot \vec{a}-m\cdot \vec{a}_{u} = \vec{F} + \vec{F}^* = \vec{F}'
    • v obou soustavách jsou nyní jiná zrychlení i jiné síly
  • pohybová rovnice není invariantní
    • změnila svůj tvar a kromě původní působící síly se zde objevuje nová setrvačná síla \vec{F}^* závisející na unášivém zrychlení soustavy

Co jsou to Galileovy transformace a za jakých podmínek platí

Jedná se o transformační vztahy pro převod souřadnic mezi dvěma inerciálními soustavami

• \vec{r} = \vec{r}' + \vec{R} \implies \vec{r}' = \vec{r} - \vec{R} - budeme počítat souřadnice ve druhé soustavě
• tento vztah je možné rozložit na tři rovnice
  • x' = x - R_{x}
  • y' = y - R_{y}
  • z' = z - R_{z}
• použitím rovnice s = v\cdot t rozložíme R_{i} na u_{i}\cdot t, čímž získáme Galileovy transformace
  • x' = x - u_{x}\cdot t
  • y' = y - u_{y}\cdot t
  • z' = z - u_{z}\cdot t
  • t = t' (souřadnice počítáme ve stejném čase)
• pokud vyjádříme x, y, z místo x', y', z', tak získáme inverzní Galileovy transformace
  • x = x' + u_{x}\cdot t
  • y = y' + u_{y}\cdot t
  • z = z' + u_{z}\cdot t
  • t = t'

Podmínky

• soustavy S a S' se vůči sobě pohybují posuvným pohybem (translací)
  • osy soustav musí zachovávat svůj směr
• obě dvě soustavy musí být inerciální
• v nulovém čase t = 0 obě soustavy splývají - jejich počátky jsou na stejném místě, tedy O' = O

Kdy působí setrvačné síly a kam směřují (obrázek)

Nerovnoměrný křivočarý (posuvný) pohyb soustavy S' vůči soustavě S

• setrvačná síla (v neinerciální soustavě)
  • \vec{F}^* = -m\cdot \vec{a}_{u}
• rozložení setrvačné síly na složky
  • \vec{a}_{u} = \vec{a}_{n} + \vec{a}_{t}
  • \vec{F}_{n}^* = -m(\vec{a}_{n} + \vec{a}_{t}) = -m\vec{a}_{n} -m\vec{a}_{t} = \vec{F}^*_{n} + \vec{F}^*_{t}
  • odstředivá síla
    • \displaystyle\vec{F}^*_{n} = -m\vec{a}_{n} = -m\cdot \frac{u^2}{R}\cdot \vec{n} = -m\cdot \vec{\omega}\times \vec{\omega}\times \vec{r}
    • má opačný směr oproti dostředivé síle
  • Eulerova (setrvačná) síla
    • \displaystyle\vec{F}^*_{t} = -m\vec{a}_{t} = -m\cdot \frac{du}{dt}\cdot \vec{t} = -m\cdot \vec{\epsilon} \times \vec{r}
    • má opačný směr oproti tečné síle

Rotační pohyb soustavy S' vůči soustavě S

• předpoklady
  • inerciální soustava S je v klidu
  • neinerciální soustava S' se otáčí úhlovou rychlostí \omega kolem společných os z = z'
  • počátky obou soustav splývají - O = O'
• sledujeme jediný hmotný bod m v soustavách S i S'
  • počátky obou soustav splývají, vektory jsou tedy totožné - \vec{r} = \vec{r}'
  • souřadnice tohoto jediného vektoru jsou v obou soustavách různé
• hmotný bod je se soustavou S' pevně spojený
  • je vůči ní v klidu a je touto soustavou unášen
  • jeho unášivá rychlost rovna obvodové rychlosti kruhového pohybu
    • \vec{u} = \vec{\omega}\times \vec{r}
• bod se může v S' pohybovat i samostatně
  • navíc s rychlostí \vec{v}'
  • skládání rychlostí v soustavě S - \vec{v} = \vec{v}' + \vec{\omega}\times \vec{r}
• obecný vztah mezi derivacemi libovolného vektoru
  • vektor \vec{A} ve dvou vztažných soustavách
  • v inerciální soustavě S a neinerciální soustavě S' rotující úhlovou rychlostí \vec{\omega}
  • \displaystyle\frac{d\vec{A}}{dt} = \frac{d'\vec{A}}{dt} + \vec{\omega}\times \vec{A}
• vztah výše lze využít pro výpočet zrychlení hmotného bodu v neinerciální soustavě
  • \displaystyle\frac{d\vec{v}'}{dt} = \frac{d'\vec{v}'}{dt} + \vec{\omega}\times \vec{v}'
  • \displaystyle\vec{a}' = \frac{d'\vec{v}'}{dt} = \frac{d\vec{v}'}{dt} - \vec{\omega}\times \vec{v}'
  • \displaystyle\vec{a}' = \frac{d}{dt}(\vec{v} - \vec{\omega}\times \vec{r}) - \vec{\omega}\times \vec{v}'
  • \displaystyle\vec{a}' = \vec{a} - \vec{\epsilon}\times \vec{r} - \vec{\omega}\times \vec{v} - \vec{\omega}\times \vec{v}'
  • m\cdot\vec{a}' = m\cdot\vec{a} - m\cdot\vec{\epsilon}\times \vec{r} - m\cdot \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times \vec{r}) - 2\cdot m\cdot \vec{\omega}\times \vec{v}'
  • m\cdot \vec{a} = \vec{F} + \vec{F}^*_{1} + \vec{F}^*_{2} + \vec{F}^*_{3} = \vec{F}'
• kromě skutečné síly \vec{F} je potřeba započítat tři další
  • \vec{F}^*_{1} = \vec{F}^*_{t} = -m\cdot \vec{\epsilon}\times \vec{r} - Eulerova (setrvačná) síla
  • \vec{F}^*_{2} = \vec{F}^*_{n} = -m\cdot \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times \vec{r}) - odstředivá síla
  • \vec{F}^*_{3} = \vec{F}^*_{C} = -2m\cdot \vec{\omega}\times \vec{v}' - Coriolisova síla
    • objevuje se pouze, pokud se hmotný bod pohybuje rychlostí, která není rovnoběžná s osou rotace - tedy z = z'

Popište a vysvětlete tlumený harmonický oscilátor

• výchozí podmínky - všechny působící síly
• sestavení pohybové rovnice - její řešení pro různé velikosti tlumení (včetně grafů)
• jaká je perioda, amplituda a energie oscilátoru u kmitavého řešení
• co je to útlum a kvalita oscilátoru
• stav velmi malého tlumení

Popište a vysvětlete nucený harmonický oscilátor

• výchozí podmínky, všechny působící síly
• pohybová rovnice, obecné a ustálené řešení
• velikost amplitudy – její průběh (do grafu)
• kdy nastane jev amplitudové rezonance - jeho popis, speciálně pro velmi malé tlumení

Výchozí podmínky, všechny působící síly

Jelikož by kmity přirozeně ustaly, budeme je v tomto případě udržovat působením vnější síly.

Tlumící (odporová) síla působící na pružinu

• \displaystyle\vec{F}_{t} = -B\cdot \vec{v} = -B\cdot \frac{d\vec{r}}{dt}
  • B - koeficient tlumení
  • \vec{r} - průvodič (poloha)

Síla pružiny

• F = -k\cdot y
  • k - tuhost pružiny
  • y - výchylka od rovnovážné polohy

Harmonická budící síla

• F_{b} = F_{0} \cdot \sin \Omega t
  • \Omega - úhlová frekvence
  • F_{0} - amplituda budící síly - nejvyšší hodnota F_{b}
• nejjednodušší budící síla se sinusovým průběhem

Úpravy vzorce

• postupujeme jako u tlumených kmitů, ale přidáme navíc budící sílu
• \displaystyle m\cdot \frac{d^2y}{dt^2} = -k\cdot y - B\cdot \frac{dy}{dt} + F_{0}\cdot \sin \Omega t
• \displaystyle\ddot{y} + \frac{B}{m} \cdot \dot{y} + \frac{k}{m} \cdot y = \frac{F_{0}}{m}\cdot \sin \Omega t

Pohybová rovnice, obecné a ustálené řešení

Vlastní úhlová frekvence

• \displaystyle\frac{k}{m} = \omega^2

Konstanta útlumu

• \displaystyle\frac{B}{m} = 2b

Pohybová rovnice nucených kmitů

• \displaystyle\ddot{y} + 2b\dot{y} + \omega^2y = \frac{F_{0}}{m}\cdot \sin \Omega t

Partikulární řešení

• uvažujeme jen malé tlumení
• y = A\cdot\sin(\Omega t + \Phi_{0})
  • \Phi_{0} - počáteční fáze kmitání, t = 0

Obecné řešení nucených kmitů

• y = C\cdot e^{-bt} \cdot \sin(\omega_{1}t + \varphi_{0}) + A\cdot \sin(\Omega t + \Phi_{0})
• dvě části jsou důsledkem dvou vlivů na pohyb hm. bodu
  1. spolupůsobení třecí a pružné síly (tlumené kmity)
  2. harmonický kmitavý pohyb stejné frekvence, způsoben budící silou

Ustálené řešení nucených kmitů

• je určeno pouze partikulárním řešením
• y = A\cdot\sin(\Omega t + \Phi_{0})
• první člen obecného řešení prakticky vymizí (přestane kmitat)

Velikost amplitudy, její průběh

Vztah pro amplitudu nucených kmitů

• \displaystyle A = \frac{F_{0}}{m}\cdot\frac{1}{\sqrt{ (\omega^2 - \Omega^2)^2 + 4b^2\Omega^2 }}

Fázový posun

• \displaystyle\tan\Phi_{0} = -\frac{2b\Omega}{\omega^2-\Omega^2}

Amplitudová rezonance, velmi malé tlumení

• dochází k ní, když se frekvence vnější síly \Omega blíží přirozené frekvenci oscilátoru \omega
• v takovém případě je amplituda maximální

Rezonance

• bez tlumení - A teoreticky roste do nekonečna
• s tlumením - A dosáhne konečné hodnoty i při rezonanci, protože tlumení omezuje růst amplitudy

Velmi malé tlumení

• amplituda rezonančních kmitů je výrazně vyšší, jelikož je tlumena jen málo

Popište skládání dvou rovinných vln stejné frekvence postupujících stejným směrem

• sestavte výchozí rovnice pro obě vlny (od dvou koherentních zdrojů na ose x) (obrázek)
• převeďte na komplexní tvary - a sečtěte na výslednou vlnu
• podmínky extrémních stavů
• aplikace

Výchozí rovnice pro obě vlny, obrázek

• podle principu superpozice můžeme libovolné pohyby (nebo vlny) skládat nezávisle na sobě (jelikož jsou zcela nezávislé)
• každý z vícero pohybů můžeme analyzovat samostatně
  • výsledky poté v libovolném pořadí složíme (sečteme)

Úhlová rychlost

• \displaystyle\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f
• \omega_{1} = \omega_{2} = \omega
• máme stejnou frekvenci, tedy i stejnou úhlovou rychlost a periodu

Výchozí rovnice

• y_{1} = A_{1}\cdot \sin(\omega t+\varphi_{1})
• y_{2} = A_{2}\cdot \sin(\omega t+\varphi_{2})

Výsledný pohyb

• y = y_{1}+y_{2}
• y = A_{1}\cdot\sin(\omega t+\varphi_{1}) + A_{2}\cdot \sin(\omega t+\varphi_{2})
• součtem dvou sinusoid stejné frekvence je opět sinusoida nezměněné frekvence
• změnila se pouze amplituda a fázová konstanta \varphi (v případě fázového posunu)

• černá vlna je součtem modrých vln

Převeďte na komplexní tvary, výsledná vlna

Použití komplexních funkcí

• \displaystyle \hat{u}_{1} = A_{1}\cdot e^{i\cdot(\omega t+\varphi_{1})} = A_{1}\cdot e^{i\cdot \varphi_{1}} \cdot e^{i\cdot \omega\cdot t} = \hat{A}_{1}\cdot e^{i\cdot\omega\cdot t}
• \displaystyle \hat{u}_{2} = A_{2}\cdot e^{i\cdot(\omega t+\varphi_{2})} = A_{2}\cdot e^{i\cdot \varphi_{2}} \cdot e^{i\cdot \omega\cdot t} = \hat{A}_{2}\cdot e^{i\cdot\omega\cdot t}
• komplexní tvar výsledných kmitů
  • \hat{u} = \hat{u}_{1} + \hat{u}_{2} = \hat{A}_{1}\cdot e^{i\cdot \omega\cdot t} + \hat{A}_{2}\cdot e^{i\cdot \omega\cdot t} = (\hat{A}_{1} + \hat{A}_{2}) \cdot e^{i\cdot \omega\cdot t}
  • stejná frekvence umožňuje vytknutí exponenciely
• standardní tvar komplexního zápisu kmitů
  • \hat{u} = (\hat{A}_{1} + \hat{A}_{2}) \cdot e^{i\cdot \omega\cdot t} = \hat{A} \cdot e^{i\cdot \omega\cdot t} = A\cdot e^{i\cdot \varphi} \cdot e^{i\cdot \omega\cdot t}
  • důkaz, že výsledné kmity jsou opět harmonické se stejnou frekvencí jako původní
• výsledná komplexní amplituda
  • je součtem obou počátečních komplexních amplitud
  • \hat{A} = \hat{A}_{1} + \hat{A}_{2}
  • A\cdot e^{i\cdot \varphi} = A\cdot e^{i\cdot \varphi_{1}} + A\cdot e^{i\cdot \varphi_{2}}

Podmínky extrémních stavů

Podmínky extrémních stavů určují, jaké musí mít vlny počáteční fáze \varphi_{1}, \varphi_{2}, abychom dosáhli maximální/minimální amplitudy, kterou je možné z těchto vln složit.

Podmínka maxima

• oba počáteční vektory musí být souhlasně rovnoběžné - \varphi_{1} = \varphi_{2}
• \varphi_{2} - \varphi_{1} = 0 \pm n\cdot 2\pi, \quad n = 0,1,2,3,\dots
  • vlny mají stejný fázový rozdíl, proto 0
  • mohou se lišit o celou periodu, proto n\cdot2\pi
• fázový rozdíl kmitů je roven sudému násobku \pi
• kmity jsou ve fázi

Podmínka minima

• oba počáteční vektory musí být nesouhlasně rovnoběžné - \varphi_{2} - \varphi_{1} = \pm\pi
• \varphi_{2} - \varphi_{1} = \pi \pm n\cdot 2\pi, \quad n = 0,1,2,3,\dots
  • vlny jsou vůči sobě posunuty o \pi
  • mohou se opět lišit o celou periodu
• \varphi_{2} - \varphi_{1} = \pm(2n+1)\pi
• fázový rozdíl kmitů je roven lichému násobku \pi
• kmity jsou v protifázi

Aplikace

• mechanické konstrukce (namáhání materiálu)
• elektrické obvody (zesílení/zeslabení výsledného signálu)
• interferenční a difrakční přístroje

Definujte a vysvětlete fotometrické veličiny

• světelný tok (jak se liší od zářivého toku)
• svítivost a jas - přesné definice a vysvětlení (také použítých veličin) (obrázky)
• co to je izotropní bodový zdroj a homogenní izotropní plošný zdroj

Světelný tok (jak se liší od zářivého)

• fotometrická veličina, která měří energii elektromagnetického záření v oblasti viditelného světla
  • zářivý tok (radiometrická veličina) měří veškerou energii elektromagnetického záření (tedy nejen viditelnou část)
• jde o efektivní část zářivé energie (té, která vyvolává zrakový vjem), prošlá či dopadlá za jednotku času na plochu S ve stanoveném směru
• jednotkou je 1 lumen (lm)
• \displaystyle\phi = \frac{dW}{dt}[\text{lm}]

Svítivost a jas - definice a vysvětlení

Svítivost

• fotometrická veličina analogická zářivosti (radiometrická veličina)
• udává intenzitu světelného toku vysílaného bodovým zdrojem v určitém směru, tedy do malého prostorového úhlu d\Omega
• definována jako podíl světelného toku vysílaného bodovým zdrojem a malého prostorového úhlu d\Omega
• jednotkou je 1 kandela (cd)
• \displaystyle I = \frac{d\phi}{d\Omega} \, [cd]

Jas (měrná svítivost)

• fotometrická veličina analogická záři
• definován jako podíl
  • svítivosti elementární části povrchu S plošného zdroje ve zvoleném směru stanoveným úhlem \alpha od kolmice plochy
  • její zdánlivé velikosti v tomto směru (jejího průmětu do roviny kolmé k tomuto směru)
• měří, jak "jasný" se zdroj jeví z určitého úhlu
• jednotkou je 1 nit (nt)
• \displaystyle L = \frac{dI}{dS\cdot \cos \alpha} \, [nt]

Izotropní bodový zdroj a homogenní izotropní plošný zdroj

Izotropní bodový zdroj

• zdroj elektromagnetického záření, jehož rozměny jsou natolik malé, že je možno je zanedbat a považovat tento zdroj za bodový
  • např. oproti vzdálenosti r od místa pozorování, např. od plochy S
• izotropní - má konstantní zářivost ve všech směrech vyzařování

Homogenní izotropní plošný zdroj

• zdroj elektromagnetického záření, který má danou plochu S
• izotropní - má konstantní zářivost ve všech směrech vyzařování
• homogenní - ve všech místech svítí zdroj stejně

Dodatková otázka: Těžiště

• základní vlastnosti těžiště soustavy hmotných bodů (tělesa), odvoďte vztah pro jeho polohu
• proč říkáme, že těžiště je rovnovážný bod tělesa?
• jak je těžiště užitečné pro popis pohybu celého tělesa?

Základní vlastnosti těžiště, vztah pro jeho polohu

Máme soustavu hmotných bodů, které chceme vyjádřit jako jeden, kterému se přiřadí celková rychlost i působiště výsledné síly.

• nazveme jej hmotným středem soustavy

Hmotnost těžiště

• součet hmotností všech hmotných bodů
• m_{0} = m = m_{1} + m_{2} + \dots + m_{N} = \sum^N_{k=1} m_{k}

Poloha (průvodič) těžiště \vec{r}_{0}

Rychlost těžiště

• \displaystyle\vec{v}_{0} = \frac{d\vec{r}_{0}}{dt} (derivace průvodiče)

Hybnost těžiště

• \displaystyle p_{0} = m\cdot \vec{v}_{0} = m\frac{d\vec{r}_{0}}{dt}
• hybnost těžiště \vec{p}_{0} musí být rovna celkové hybnosti soustavy \vec{P}
  • \vec{p}_{0} = \vec{P}

Vzorec pro polohu těžiště

• dosadíme do vzorce \vec{p}_{0} = \vec{P}
• \displaystyle m\frac{d\vec{r}_{0}}{dt} = \sum^N_{k=1} m_{k} \frac{d\vec{r}_{k}}{dt}
• \displaystyle\frac{d}{dt}m\vec{r}_{0} = \frac{d}{dt} \sum^N_{k=1} m_{k}\vec{r}_{k}
• \displaystyle m\vec{r}_{0} = \sum^N_{k=1} m_{k}\vec{r}_{k} + \text{konst}
• z rovnosti derivací plyne rovnost funkcí - až na libovolnou konstantu
  • pro zjištění polohy těžiště se používá nulová konstanta
• \displaystyle\vec{r}_{0} = \frac{1}{m}\sum^N_{k=1}m_{k}\vec{r}_{k}

Proč říkáme, že těžiště je rovnovážný bod tělesa?

Pokud těleso podepřeme (nebo zavěsíme) v těžišti, součet všech vnějších sil bude nulový a těleso bude v klidu - proto se jedná o rovnovážný stav.

• podepřením (nebo zavěšením) tělesa v těžišti zajistíme, že součet všech vnějších sil je nulový - pak soustava hmotných bodů musí zůstat v klidu

Jak je těžiště užitečné pro popis pohybu celého tělesa?

Za pomoci těžiště jsme schopni nahradit soustavu hmotných bodů za jeden hmotný bod.