2.9 KiB
Limita
Vlastní limita
Posloupnost (a_n)
má vlastní limitu a \in R
, pokud
\displaystyle \forall \epsilon \in \mathbb{R} > 0 \quad \exists n_{0} \in \mathbb{N} \quad \forall n \in \mathbb{N} : n > n_{0} \implies |a_{n} - a| < \epsilon.
Píšeme \displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = a
nebo a_{n} \to a
.
Pozn.: a - \epsilon < a_{n} < a + \epsilon
- Pro jakoukoli šířku pásma existuje standardní hodnota, všechna následující
n
majía_n
uvnitř $\epsilon$-pásem
Nevlastní limita
Posloupnost (a_n)
má nevlastní limitu +\infty
, pokud
\displaystyle \forall h > 0 \quad \exists n_{0} \quad \forall n \in N : n > n_{0} \implies a_{n} > h
\displaystyle \forall d < 0 \quad \exists n_{0} \quad \forall n \in N : n > n_{0} \implies a_{n} < d
Píšeme
\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = +\infty
neboa_{n} \to +\infty
\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = -\infty
neboa_{n} \to -\infty
Jednoznačnost limity
Každá posloupnost má nejvýše 1 limitu.
Algebra vlastních limit
Nechť \displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = a
a \displaystyle \lim_{ n \to \infty } b_{n} = b
, pak
-
\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (\alpha \times a_{n} + \beta \times b_{n}) = \alpha \times a + \beta \times b
, pokud je pravá strana definována, -
\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (a_{n} \times b_{n}) = a \times b
, pokud je pravá strana definována, -
\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (\frac{a_{n}}{b_{n}}) = \frac{a}{b}
, pokudb_{n} \neq 0
pro všechnan \in N
a pokud je pravá strana definována.
Eulerovo číslo
- je definováno jako
\displaystyle e := \lim_{ n \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n
= |"NV $1^\infty$"| - alternativní definice:
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}
Konvergence a divergence
Řekněme, že (a_n)
je
značka | typ | podmínka |
---|---|---|
K | konvergentní | má-li vlastní / konečnou limitu |
D | divergentní | není-li konvergentní |
divergentní k +\infty |
má-li nevlastní limitu +\infty |
|
divergentní k -\infty |
má-li nevlastní limitu -\infty |
Omezenost a limity
-
Je-li posloupnost konvergentní (K), pak je i omezená (O)
-
Diverguje-li posloupnost k
+\infty
, pak je omezená pouze zdola (OZ) -
Diverguje-li posloupnost k
-\infty
, pak je omezená pouze shora (OS)
Dále také
-
Je-li
(a_n)
monotónní (M) a omezená (O), pak je i konvergentní (K) -
Je-li
(a_n)
rostoucí (R) a omezená (O), pak\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = sup \ a_{n}
amin \ a_{n} = a_{1}
-
Je-li
(a_n)
klesající (K) a omezená (O), pak\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = inf \ a_{n}
amax \ a_{n} = a_{1}