2.1 KiB
2.1 KiB
Monotonie a omezenost posloupnosti
Posloupnost
Definice
- Posloupnost reálných čísel je zobrazení s definičním oborem
\mathbb N
a oborem hodnotH \subset R
- každému indexu z
n \in \mathbb N
je přiřazen právě jeden člena_n \in \mathbb R
- každému indexu z
Zadání posloupnosti
typ | příklad |
---|---|
explicitní | a_n = 2n |
implicitní (rekurentní) | \begin{cases} a_{n+1} = a_n + 2\\ a_1 = 1\end{cases} |
Omezenost
Posloupnost (a_n)
s oborem hodnot H
je omezená (zdola, shora), je-li množina H
omezená (zdola, shora).
značení | typ | podmínka |
---|---|---|
O | omezená (shora i zdola) | \exist \ c > 0 \ \forall n \in \mathbb N: \vert a_n \vert \ \leq c |
OS | omezená shora | \exist \ h \in \mathbb R, \ \forall n \in \mathbb N: a_n \leq h |
OZ | omezená zdola | \exist \ d \in \mathbb R, \ \forall n \in \mathbb N: d \leq a_n |
Monotonie
Řekněme, že (a_n)
je
značka | typ | podmínka |
---|---|---|
R | rostoucí | \displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \ \ \ a_{n+1} >= a_n |
K | klesající | \displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \ \ \ a_{n+1} <= a_n |
OR | ostře rostoucí | \displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \ \ \ a_{n+1} > a_n |
OK | ostře klesající | \displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \ \ \ a_{n+1} < a_n |
M | monotónní | je klesající nebo rostoucí |
OM | ostře monotónní | je ostře klesající nebo ostře rostoucí |
Zjištění monotonie
- Tipnu a ověřím
- Otazníčková metoda