109 lines
No EOL
5.7 KiB
Markdown
109 lines
No EOL
5.7 KiB
Markdown
# Lineární vektorové prostory
|
|
|
|
Příklady:
|
|
|
|
| zápis | typ |
|
|
| ---------- | ------------------------------------------- |
|
|
| $R^2, R^3$ | geometrické vektory o 2, resp. 3 složkách |
|
|
| $R^n$ | n-tice reálných čísel (aritmetické vektory) |
|
|
| $M_{m,n}$ | všechny matice typu m/n (nad $R$, nad $C$) |
|
|
| $P_n$ | všechny polynomy stupně nejvýše n |
|
|
| $C(a,b)$ | všechny funkce spojité na $<a, b>$ |
|
|
|
|
Vektorový prostor V nad tělesem K:
|
|
- sčítání: $V + V \to V$
|
|
- násobení: $K \cdot V \to V$
|
|
|
|
## Lineární vektorový prostor
|
|
|
|
**Lineární vektorový prostor nad tělesem $\mathbb T$** (nad $\mathbb{C}$ nebo $\mathbb{R}$) je neprázdná množina $\mathcal{V}$, kde pro každé $\vec x, \vec y, \vec z \in \mathcal{V}$ a pro každé $k, l \in \mathbb T$ platí:
|
|
|
|
| vlastnost | název |
|
|
| ----------------------------------------------------------------------------------------------- | --------------- |
|
|
| existuje právě jeden prvek $\vec u \in \mathcal{V}$ tak, že $\vec u = \vec x + \vec y$ | sčítání |
|
|
| existuje právě jeden prvek $\vec u \in \mathcal{V}$ tak, že $\vec u = k \vec x$ | násobení |
|
|
| $(\vec x + \vec y) + \vec z = \vec x + (\vec y + \vec z)$ | |
|
|
| existuje prvek $\vec o \in \mathcal{V}$ takový, že $\vec x + \vec o = \vec o + \vec x = \vec x$ | neutrální prvek |
|
|
| existuje prvek $-\vec{x}$ takový, že $\vec{x} + (-\vec{x}) = -\vec{x} + \vec{x} = \vec{o}$ | opačný prvek |
|
|
| $(k+l)\vec x = k\vec x + l\vec x$ | |
|
|
| $(kl)\vec x = k(l\vec x)$ | |
|
|
| $1\vec x = \vec x$ | |
|
|
| $k(\vec x + \vec y) = k\vec x + k\vec y$ | |
|
|
|
|
### Základní vlastnosti LVP
|
|
|
|
- nulový prvek je určen jednoznačně
|
|
- je-li $\vec{x}+\vec{y}=\vec{x}+\vec{z}$, pak $\vec{y}=\vec{z}$
|
|
- pro všechna $\vec{x} \in \mathcal{V}$ je opačný prvek $-\vec{x}$ určen jednoznačně
|
|
- je-li $\vec{x}+\vec{y}=\vec{z}$, pak $\vec{x}=\vec{z}+(-\vec{y})$
|
|
- pro všechna $\vec{x} \in \mathcal{V}$ a $k \in \mathbb{R}$ je $0\vec{x}=k\vec{o}=\vec{o}$
|
|
- pro všechna $\vec{x} \in \mathcal{V}$ je $-1\vec{x}=-\vec{x}$
|
|
- je-li $k\vec{x}=\vec{o}$, pak buď $k=0$ nebo $\vec{x}=\vec{o}$
|
|
|
|
### Podprostor
|
|
|
|
Máme lineární vektorový prostor $V$ a jeho podprostor $U \subset V$, jestliže
|
|
1) pro každé $\vec{u}, \vec{v} \in U$ je $\vec{u} + \vec{v} \in U$
|
|
2) pro každé $\vec{u} \in U$ a pro každé $a \in K$ je $a \cdot \vec{u} \in U$
|
|
- vyplývá, že v podprostoru $U$ bude vždy i nulový vektor ($a = 0$)
|
|
|
|
Každý podprostor vektorového prostoru je také vektorovým prostorem.
|
|
|
|
### Lineární kombinace
|
|
|
|
Prvek $\lambda_{1} \vec v_{1} + \lambda_{2} \vec v_{2} + \dots + \lambda_{k} \vec v_{k}$ (**LK**), kde $\vec v_{i}$ jsou prvky LVP $\mathcal{V}$ a $\lambda_{i}$ jsou koeficienty.
|
|
|
|
#### Lineární (ne)závislost
|
|
|
|
Prvky nazveme **lineárně nezávislými** (**LN**), jestliže se žádný z nich nedá vyjádřit lineární kombinací ostatních prvků (neboli $LK = \vec{o}$, jedině když $\lambda=0$). V opačném případě budou prvky **lineárně závislé** (**LZ**).
|
|
|
|
#### Lineární obal
|
|
|
|
Všechny lineární kombinace zadaných vektorů.
|
|
- zapisujeme $\langle\vec{u}; \vec{v}\rangle = \{ \lambda_{1} \cdot \vec{u} + \lambda_{2} \cdot \vec{v} \}$
|
|
|
|
### Generující množina
|
|
|
|
Množina $M = \{\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \dots, \vec{v_{k}}\} \subseteq V$ generuje lineární vektorový prostor, jestliže se lineární kombinace všech prvků M rovná prostoru V, tedy $\langle M \rangle = V$.
|
|
|
|
### Báze
|
|
|
|
Je-li generující množina prostoru V lineárně nezávislá, jedná se také o bázi prostoru V.
|
|
- zápis: $\text{báze }A = \{\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}\}$
|
|
|
|
Bázi z generující množiny zjistím tím, že vektory GM zapíšu **do sloupců** matice a provedu **GJEM**, čímž zjistím, jestli se nedá některý z vektorů **vyjádřit jako LK jiného vektoru** (tedy vyjde jako **parametr**).
|
|
|
|
#### Dimenze V
|
|
|
|
Počet prvků báze V se nazývá **dimenze V** a značí se $dim(V)$.
|
|
|
|
Dimenzi vypočítám **zjištěním báze**, kde **počet prvků báze** je roven **dimenzi V**.
|
|
|
|
#### Souřadnice v bázi
|
|
|
|
Jednoznačně určené koeficienty $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n} \in \mathbb{R}$ LK $v = c_{1}\vec{b_{1}}, c_{2}\vec{b_{2}}, \dots, c_{n}\vec{b_{n}}$ se nazývají **souřadnice prvku v** v bází B.
|
|
- značí se $\widehat{v_{B}} = [c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}]^T$
|
|
|
|
Pořadí prvků v bázi je důležité! Při změně pořadí se změní i pořadí souřadnic:
|
|
|
|
$$B_{1} = \{ \vec{b_{1}}, \vec{b_{2}}, \vec{b_{3}} \} \qquad \vec{x}_{B_{1}} = [1, 2, 3]$$
|
|
$$B_{2} = \{ \vec{b_{2}}, \vec{b_{1}}, \vec{b_{3}} \} \qquad \vec{x}_{B_{2}} = [2, 1, 3]$$
|
|
|
|
Souřadnice součtu dvou prvků V jsou součtem souřadnic těchto prvků.
|
|
|
|
$$\widehat{(\vec{v_{1}} + \vec{v_{2}})}_{B} = \widehat{\vec{v_{1}}_{B}} + \widehat{\vec{v_{2}}_{B}}$$
|
|
$$\widehat{(\lambda \cdot\vec{v_{2}})}_{B} = \lambda \cdot \widehat{\vec{v_{2}}_{B}}$$
|
|
|
|
### Určení souřadnic vektoru v bázi
|
|
|
|
1. Bázové prvky zapíšeme do levé strany matice do sloupců.
|
|
2. Vektor zapíšeme do pravé strany matice.
|
|
3. Pomocí GJEM převedeme levou stranu matice do tvaru jednotkové matice.
|
|
4. Na pravé straně máme souřadnice v zadané bázi.
|
|
|
|
### Operace s podprostory
|
|
|
|
- Sjednocení $u_{1} \cup u_{2}$
|
|
- Musí platit:
|
|
- $u_{1} \subseteq u_{2}$
|
|
- $u_{2} \subseteq u_{1}$ |