3 KiB
Zadání
Vlak se pohybuje po kruhové dráze o poloměru 800 m. V počátečním okamžiku měl vlak rychlost 54 km/h a v koncovém 18 km/h. Mezi počátečním a koncovým okamžikem vlak urazil 800 m. Určete: dobu potřebnou k uražení této dráhy a velikost zrychlení v počátečním a koncovém okamžiku.
R = 800 \, \text{m}
v_{0} = 54 \, \text{km/h}
v_{1} = 18 \, \text{km/h}
s = 800 \, \text{m}
T = \, ?
a_{0} = \, ?
a_{1} = \, ?
křivočarý rovnoměrně zrychlený (zpomalený) pohyb
a_{t} = \text{konst.}
v = a_{t} \cdot t + v_{0}
s = \frac{1}{2}a_{t} \cdot t^2 + v_{0} \cdot t + s_{0}
celkové zrychlení | a = \sqrt{ a_{t}^2 + a_{n}^2 } |
---|---|
tečné zrychlení | a_{t} = \text{konst.} |
normálové zrychlení | \displaystyle a_{n} = \frac{v^2}{R} |
Výpočet
pro t = 0 \implies s_{0} = 0
v = a_{t} \cdot t + v_{0}
s = \frac{1}{2}a_{t} \cdot t^2 + v_{0} \cdot t = 0
pro t = T
v_{1} = a_{t} \cdot T + v_{0}
s = \frac{1}{2}a_{t} \cdot T^2 + v_{0} \cdot T
- z první rovnice vyjádříme
\displaystyle T = \frac{v_{1}-v_{0}}{a_{t}}
Dráha
- dosadíme
T
do rovnice pros
a vyjádřímea_{t}
\displaystyle s = \frac{1}{2}\cancel{a_{t}} \cdot \frac{(v_{1} - v_{0})^2}{a_{t}^{\cancel{2}}} + v_{0} \cdot \frac{v_{1} - v_{0}}{a_{t}} = \frac{v_{1}^2 - 2v_{1}v_{0} + v_{0}^2}{2a_{t}} + \frac{v_{0}v_{1} - v_{0}^2}{a_{t}} = \frac{v_{1}^2 - \cancel{2v_{1}v_{0}} + \cancel{v_{0}^2} + \cancel{2v_{1}v_{0}} - \cancel{2}v_{0}^2}{2a_{t}} = \frac{v_{1}^2 - v_{0}^2}{2a_{t}}
\displaystyle a_{t} = \frac{v_{1}^2 - v_{0}^2}{2s}
Doba jízdy
- dosadíme
a_{t}
do rovnice proT
\displaystyle T = \frac{v_{1} - v_{0}}{\frac{v_{1}^2 - v_{0}^2}{2s}} = \frac{v_{1} - v_{0}}{v_{1}^2 - v_{0}^2} \cdot 2s = \frac{\cancel{v_{1} - v_{0}}}{\cancel{(v_{1} - v_{0})}(v_{1} + v_{0})} \cdot 2s = \frac{2s}{v_{1} + v_{0}}
Zrychlení v počátečním a koncovém okamžiku
\displaystyle a_{0} = \sqrt{ (a_{t})^2 + \left(\frac{v_{0}^2}{R}\right)^2 }, \quad a_{1} = \sqrt{ (a_{t})^2 + \left(\frac{v_{1}^2}{R}\right)^2 }
Konstantní tečné zrychlení
v_{0} = 54 \text{ km/h} = 15 \text{ m/s}
v_{1} = 18 \text{ km/h} = 5 \text{ m/s}
\displaystyle a_{t} = \frac{5^2 - 15^2}{2 \cdot 800} \text{ m}\cdot\text{s}^{-2} = \frac{25 - 225}{1600} \text{ m}\cdot\text{s}^{-2} = -\frac{200}{1600} \text{ m}\cdot\text{s}^{-2} = -0.125 \text{ m}\cdot\text{s}^{-2}
- mínus, takže vektor míří opačným směrem (vlak zpomaluje)
Výsledek
\displaystyle T = \frac{800}{5 + 15}\cdot 2\text{ s} = \frac{1600}{20}\text{ s} = 80\text{ s}
\displaystyle a_{0} = \sqrt{ (-0.125)^2 + \left(\frac{15^2}{800}\right)^2 } \text{ m}\cdot\text{s}^{-2} = 0.308 \text{ m}\cdot\text{s}^{-2}
\displaystyle a_{1} = \sqrt{ (-0.125)^2 + \left(\frac{5^2}{800}\right)^2 } \text{ m}\cdot\text{s}^{-2} = 0.129 \text{ m}\cdot\text{s}^{-2}