4.9 KiB
Lineární zobrazení
\mathcal{U} = R^4
- LVP před zobrazením\mathcal{V}= R^3
- LVP po zobrazení\mathbb L : \mathcal{U} \to \mathcal{V}
Zobrazení \mathbb L : \mathcal{U} \to \mathcal{V}
kde \mathcal{U}, \mathcal{V}
jsou LVP, jestliže pro každé \vec x, \vec y \in \mathcal{U}
a pro každé c \in \mathbb R
platí:
\mathbb{L}(\vec x + \vec y) = \mathbb{L}(\vec x) + \mathbb{L}(\vec y)
\mathbb{L}(c \cdot \vec x) = c \cdot \mathbb{L}(\vec x)
Nazývá se také homomorfizmus.
\dim(Ker \space \mathbb L) + \dim(Im \space \mathbb L) = \dim(\mathcal U)
Jádro
- všechny LK vektorů před zobrazením, které se po zobrazení rovnají 0
- zjištění přes zjištění LK
Ker \space \mathbb{L} = \{ \forall \vec x \in \mathcal U; \mathbb L (\vec x) = 0 \}
- zápis:
Ker \space \mathbb{L} = \langle \vec{u}; \vec{v} \rangle
Zapíšu zobrazení do matice, po provedení GJEM zjistím, které prvky se zobrazí na nulový vektor (tedy si vyjádřím např. a, b, c
).
Obraz
- všechny LK vektorů po zobrazení
Im \space \mathbb{L} = \{ \vec y \in \mathcal V; \exists \vec x \in \mathcal U, \mathbb{L}(\vec x) = \vec y \}
- zápis:
Im \space \mathbb{L} = \langle \vec{u}; \vec{v} \rangle
Vypočítám jej opět zapsáním zobrazení do matice a provedením GJEM. Obrazem je poté LN množina vektorů (podobné jako u báze).
Lineární operátor
Lineární zobrazení \mathbb{L} : U \to U
.
Identické zobrazení
Zobrazení \mathbb F
definované vztahem \mathbb F(x) = (x)
.
Prosté zobrazení
Žádné dva rozdílné prvky se nezobrazí na jeden stejný prvek.
Ker \space \mathbb{L} = \{\vec{o}_{\mathcal U}\}
\dim(Ker \space \mathbb{L}) = 0
Zobrazení na
Celý prostor \mathcal{U}
se zobrazuje na celý prostor \mathcal{V}
.
\forall v \in \mathcal V : \exists u \in \mathcal U : f(u) = v
Im(\mathbb{L}) = \mathcal{V}
Izomorfní zobrazení
Lineární zobrazení je izomorfizmem, pokud je prosté a na, dimenze jeho obrazu je stejná jako dimenze prostoru V.
- platí zároveň
Ker \space \mathbb{L} = \{\vec{o}_{\mathcal U}\}
\dim(Im \space \mathbb{L}) = \dim(\mathcal V)
- dimenze obou prostorů se musí rovnat, jinak se nejedná o izomorfizmus
\dim(\mathcal U) = \dim(\mathcal V)
Vlastnosti
- matice
M
lineárního zobrazení pro izomorfní zobrazení je regulární - inverzní izomorfní zobrazení
\mathbb L^{-1}:\mathcal{V} \to \mathcal{U}
je také izomorfní- matice lin. zobrazení pro inverzní izomorfní zobrazení je
M^{-1}
- matice lin. zobrazení pro inverzní izomorfní zobrazení je
- prvky
\vec{x}_{1}, \vec{x}_{2}, \dots, \vec{x}_{n} \in \mathcal{U}
jsou LZ, pokud\mathbb L(\vec{x}_{1}), \mathbb L(\vec{x}_{2}), \dots, \mathbb L(\vec{x}_{n}) \in \mathcal{V}
jsou LZ
Inverzní zobrazení
Je-li f : A \to B
zobrazení, pak inverzním zobrazením je f^{-1} : B \to A
.
f^{-1}(b) = a
f(a) = b
Matice lineárního zobrazení
Nejsnadnější způsob, jak počítačově popsat lineární zobrazení.
Znázorňuje vztah souřadnicemi prvku vzhledem k jedné bázi a souřadnicemi zobrazení prvku vzhledem k druhé bázi.
- Dimenze obrazu lineárního zobrazení
\mathbb{L}
je stejná jako hodnost matice lineárního zobrazení. - Pokud je matice lineárního zobrazení regulání, lineární zobrazení je izomorfizmus.
Postup:
- Určete matici zobrazení
\mathbb{L}
v bázíchB_{1}
aB_{2}
.
- Vektory první báze zobrazím pomocí lineárního zobrazení.
- Zobrazené vektory napíšu do sloupců matice
A_{2}
. - Do matice
A_{1}
napíšu do sloupců vektory ze druhé báze. - Matice spojím do matice
A = [A_{1} \mid A_{2}]
, kterou vyřeším pomocí GJEM. - Na levé straně díky GJEM dostanu jednotkovou matici a na pravé straně vznikne matice lineárního zobrazení.
Matice přechodu
Matice identického lineárního zobrazení vzhledem k bázím B_{1}
a B_{2}
.
Nechť T
je matice přechodu od báze B_{2}
k bázi B_{1}
(je to naopak).
T
je regulárníT_{\vec{u}_C} = \vec{u}_D \quad \forall \vec{u} \in U
T^{-1}
je matice přechodu od bázeB_{1}
k báziB_{2}
Postup je stejný jako u matice lineárního zobrazení, jen prvky první báze nezobrazuji a rovnou je zapíšu do matice.
Složené zobrazení
Nechť \mathbb{L}_{1} : U \to V, \mathbb{L}_{2} : V \to W
a báze v U, V, W
jsou C, D, E
. A je matice \mathbb L_1
vzhledem k bázím C, D
a B
je matice \mathbb L_{2}
vhledem k bázím D, E
.
Složené zobrazení \mathbb L = \mathbb L_{2} \circ \mathbb L_{1} : U \to W
je lineární a jeho matice vzhledem k bázím C, E
je rovna matici B \cdot A
.
Důsledky:
- Pro uvedené matice lin. zobr. platí:
hod(B \cdot A) \leq \min\{hod(A), hod(B)\}
. - Pokud je lineární zobrazení izomorfizmus s maticí
A
vzhledem k bázímC, D
, potom inverzní zobrazení má vzhledem k bázímD, C
maticiA^{-1}
.