4 KiB
Souvislost orientovaného grafu
Pojmy podgraf a indukovaný podgraf jsou definovány stejně jako u neorientovaných grafů.
Symetrizace orientovaného grafu
Symetrizací orientovaného grafu \vec{G}
nazveme neorientovaný graf G
, kde V(G) = V(\vec{G})
a E(G) = \left\{ \{ x, y \}; (x, y) \in E(\vec{G}) \right\}
.
Z orientovaného grafu můžeme snadno vyrobit neorientovaný graf tím, že "zapomeneme" orientaci všech hran. Případné smyčky odstraníme a násobné hrany nahradíme jednoduchými.
Orientace neorientovaného grafu
Orientací neorientovaného grafu G
nazveme orientovaný graf \vec{G}
s V(\vec{G}) = V(G)
a pro každou hranu e \in E(G)
zvolíme v \vec{G}
jednu ze dvou možných orientací.
Symetrickou orientací neorientovaného grafu G
nazveme graf \vec{G}_{s}
takový, že V(\vec{G}_{s}) = V(G)
a E(\vec{G}_{s}) = \left\{ (x, y), (y, x); \{ x, y \} \in E(G) \right\}
.
- vrcholy jsou stejné a hrany tohoto grafu jsou obousměrné (oběma směry)
Okolí a stupně orientovaných grafů
Mějme orientovaný graf \vec{G}
a vrchol v \in V(\vec{G})
.
Vstupním okolím vrcholu x
v \vec{G}
nazveme vrcholy N^\text{in}(x) = \left\{ v \in V(\vec{G}) ; (v, x) \in H(\vec{G}) \right\}
.
Výstupním okolím vrcholu x
v \vec{G}
nazveme vrcholy N^\text{out}(x) = \left\{ v \in V(\vec{G}) ; (x, v) \in H(\vec{G}) \right\}
.
Vstupním stupněm vrcholu x
nazveme číslo d^\text{in}(x) = \vert N^\text{in}(x) \vert
.
Výstupním stupněm vrcholu x
nazveme číslo d^\text{out}(x) = \vert N^\text{out}(x) \vert
.
Nechť \vec{G}
je orientovaný graf, potom
\displaystyle\sum_{v \in V(\vec{G})} d^\text{in}(v) = \sum_{v \in V(\vec{G})} d^\text{out}(v) = m
.- V grafu je stejný počet vstupních hran jako výstupních (jen jsou u jiných vrcholů) a tvoří všechny hrany daného grafu.
Slabá souvislost
Řekneme, že orientovaný graf \vec{G}
je (slabě) souvislý, je-li jeho symetrizace G
souvislý graf.
Silná souvislost
Pro orientované grafy lze snadno upravit definice sledů, cest a kružnicí v grafu.
Orientovaný sled z vrcholu x
do vrcholu y
v orientovaném grafu $\vec{G}$
je posloupnost vrcholů (x = v_{0}, v_{1}, \dots, v_{k} = y)
, ve které je pro každé $i = 1, \dots, k$
dvojice v_{i−1}v_{i}
hranou grafu \vec{G}
.
Orientovaná cesta v \vec{G}
je orientovaný sled, který obsahuje každý vrchol nejvýše jednou.
Orientovaný graf \vec{G}
je silně souvislý, pokud v něm pro každou dvojici vrcholů x, y
existuje orientovaná cesta z x
do y
i orientovaná cesta z y
do x
.
Cyklus
Cyklus v \vec{G}
je orientovaný sled, ve kterém je v_{0} = v_{k}
, tento vrchol je v něm obsažen právě dvakrát a všechny ostatní nejvýše jednou.
Graf \vec{G}
je silně souvislý právě tehdy, pokud je jeho každá hrana obsažena v nějakém cyklu.
Graf \vec{G}
je acyklický, jestliže \vec{G}
neobsahuje jako podgraf žádný cyklus.
Relace oboustranné dosažitelnosti
Nechť G
je orientovaným grafem. Potom na vrcholech x, y \in V(G)
definujeme relaci oboustranné dosažitelnosti x \sim y
, pokud v G
existuje orientovaná cesta z x
do y
i naopak.
- tato relace je
- reflexivní
- symetrická
- tranzitivní -
x \sim y \wedge y \sim z \implies x \sim z
- je to ekvivalence
\implies
rozklad V(G) na třídy ekvivalence
Kvazikomponentou (silnou komponentou) nazveme maximální silně souvislý podgraf grafu \vec{G}
.
- jedná se o podgraf indukovaný na třídě ekvivalence
- dvě různé kvazikomponenty
\vec{G}
nemají společný vrchol
Kondenzace
Kondenzace orientovaného grafu G
je orientovaný graf G_{c}
, jehož vrcholy jsou kvazikomponenty grafu G
, a pro různé kvazikomponenty Q_{1}, Q_{2} \in V(G_{c})
platí:
Q_{1}Q_{2} \in E(G_{c})
, pokud pro nějakéx_{1} \in V(Q_{1}), x_{2} \in V(Q_{2})
jex_{1}x_{2} \in E(G)
.