1.5 KiB
1.5 KiB
Grupa
Grupa G
je množina M
spolu s asociativní binární operací \oplus
, ve které existuje
- neutrální prvek
\exists \, e \in G : \forall \, x \in G : x \oplus e = x = e \oplus x
- prvek
x^{-1}
inverzní ke každému prvku\forall \, x \in G : \exists \, x^{-1} \in G : x \oplus x^{-1} = e
Pokud je operace \oplus
navíc komutativní (nezáleží na pořadí), jedná se o komutativní nebo Abelovu grupu.
Grupa se značí jako G(M, \oplus)
.
Těleso
Množina M
s operacemi \oplus
a \otimes
takovými, že
- množina
M
s operací\oplus
je Abelova grupa, - množina
M \setminus \{ n \}
s operací\otimes
je Abelova grupa, kden
je neutrální (nulový) prvek při operaci\oplus
, - platí distributivita, tedy pro všechny
x, y, z \in M
jex \otimes (y \oplus z) = (x \otimes y) \oplus (x \otimes z)
,
se nazývá těleso a značí se (M, \oplus, \otimes)
.
Mezi tělesa patří množiny všech racionálních, reálných a komplexních čísel, vždy se standardními operacemi sčítání a násobení.
Inverzní prvek
Inverzní prvek x^{-1}
k prvku x
je prvek, pro který platí x^{-1} \oplus x = e
, kde e
je neutrální prvek (tedy 0).
Nechť p \geq 1
a r \in \mathbb{Z}_{p}, r \neq 0
. K prvku r
existuje v \mathbb{Z}_{p}
inverzní prvek právě tehdy, když čísla p, r
jsou nesoudělná.
- Tedy
\mathbb{Z}_{p}
je těleso právě, kdyžp
je prvočíslo.