2.8 KiB
Zadání
Koule zadaného poloměru mírně kývá na závěsu zadané délky. Spočtěte: dobu kyvu kyvadla. Jaké chyby se dopustíme, budeme-li kouli považovat za bodovou hmotnost? (kyv = pohyb ze strany na stranu, kmit = 2 kyvy = pohyb z jedné strany na druhou a zpět)
R
- poloměr koulel
- délka závěsuT_{kyvadla} = \, ?
- chyba pro
R \to 0 = \, ?
- netlumené kmity (tření)
- tíhové pole Země
-
- impulzová věta (pohybová rovnice pro rotaci tuhého tělesa)
J \cdot \vec \epsilon = -\vec M
\vec M = \vec I \cdot \vec G
M = \vert \vec M \vert = \vert \vec I \vert \cdot \vert \vec G \vert \cdot \sin \varphi = l \cdot m \cdot g \cdot \sin \varphi
J
- moment setrvačnosti\displaystyle \vec \epsilon = \frac{d\vec w}{dt} = \frac{d^2\vec\varphi}{dt^2}
- Steinerova věta
\displaystyle J \cdot \frac{d^2 \varphi}{dt^2} = -M
J = J_{0} + m \cdot l^2 = \frac{2}{5} m R^2 + m \cdot l^2
J_{0} = \frac{2}{5}m\cdot R
(moment setrvačnosti koule - symetrická osa)
Výpočet
\displaystyle \left( \frac{2}{5} m R^2 + m \cdot l^2 \right) \cdot \frac{d^2\varphi}{dt^2} = -l\cdot m\cdot \sin \varphi
\displaystyle \left( \frac{2}{5} m R^2 + m \cdot l^2 \right) \cdot \frac{d^2\varphi}{dt^2} + l \cdot m \cdot g \cdot \sin \varphi = 0
\displaystyle \left( \frac{2}{5} m R^2 \cdot l^2 \right) \cdot \frac{d^2\varphi}{dt^2} + l \cdot g \cdot \sin \varphi = 0
\displaystyle\frac{d^2\varphi}{dt^2} + \frac{l \cdot g}{\frac{2}{5}R^2 + l ^2} \cdot \sin \varphi = 0
\displaystyle\frac{d^2\varphi}{dt^2} + \frac{l \cdot g}{\frac{2}{5}R^2 + l ^2} \cdot \sin \varphi = 0
- pro
\varphi < 5^\circ \implies \sin \varphi \simeq \varphi
\displaystyle\frac{d^2\varphi}{dt^2} + \frac{l \cdot g}{\frac{2}{5}R^2 + l ^2} \cdot \varphi = 0
\displaystyle \frac{l \cdot g}{\frac{2}{5}R^2 + l ^2} = \omega^2
- úhlová rychlost
\displaystyle\frac{d^2\varphi}{dt^2} + \omega^2 \cdot \varphi = 0
- lineární harmonický oscilátor
- ... víme, že
\displaystyle\omega = \frac{2\pi}{T}
, kdeT
je perioda (doba kmitu) \displaystyle T_{kyv} = \frac{\pi}{\omega}
\displaystyle T_{kyv} = \frac{\pi}{\sqrt{ \frac{l \cdot g}{\frac{2}{5}R^2+l^2} }} = \pi \cdot \frac{\sqrt{ l \cdot \left[ \frac{2}{5}\left( \frac{R}{l} \right)^2+1 \right] }}{l \cdot g} = \pi \cdot \sqrt{ \frac{l}{g} } \cdot \sqrt{ \frac{2}{5} \left( \frac{R}{l}^2 + 1 \right) }
Výsledek
pro \displaystyle R \to 0 \implies T_{kyv} = \pi \cdot \sqrt{ \frac{l}{g} }
- doba kyvu matematického kyvadla
bude-li R 10% délky závěsu l (R = 0.1 \cdot l
)
\displaystyle T_{kyv} = T^M_{kyv} \cdot \sqrt{ \frac{2}{5} \left(\frac{0.1 \cdot l}{l}\right)^2 +1 } = T^M_{kyv \cdot \sqrt{ 1.004 }} = T^M_{kyv} \cdot 1,002
- chyba by byla 0.2%