2 KiB
2 KiB
Číselné množiny
\emptyset \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{N}_{0} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{R}^* \quad \mathbb{R}^* = \mathbb{R} \, \cup \{ -\infty, +\infty \}
Mějme neprázdnou množinu A \subset \mathbb{R}
.
Omezenost
značka | typ | podmínka |
---|---|---|
OZ | omezená zdola | \exists \, d \in \mathbb{R} \quad \forall \, x \in A : d \leq x |
OS | omezená shora | \exists \, h \in \mathbb{R} \quad \forall \, x \in A : x \leq h |
O | omezená | omezená shora i zdola |
Minimum, maximum
typ | podmínka | zápis |
---|---|---|
minimum | \exists \, a \in A \quad \forall \, x \in A : a \leq x |
a = \min(A) |
maximum | \exists \, b \in A \quad \forall \, x \in A : x \leq b |
b = \max(A) |
Infimum, supremum
Množina A
má infimum, pokud existuje i \in \mathbb{R}^*
takové, že platí
\forall \, x \in A : i \leq x
,\forall \, x_{1} \in \mathbb{R} : i < x_{1} \implies (\exists \, x_{2} \in A : x_{2} < x_{1})
,
- píšeme
i = \inf(A)
.
Množina A
má supremum, pokud existuje s \in \mathbb{R}^*
takové, že platí
\forall \, x \in A : x \leq s
,\forall \, x_{1} \in \mathbb{R} : x_{1} < s \implies (\exists \, x_{2} \in A : x_{1} < x_{2})
,
- značíme
s = \sup(A)
.
Pro každou neprázdnou množinu A \subset \mathbb{R}
platí
\exists! \, \inf A, \quad \exists! \, \sup A
,\inf A \leq \sup A
,\exists \, \min A \implies \inf A = \min A
,\exists \, \max A \implies \sup A = \max A
,A
není omezená zdola\Leftrightarrow \inf A = -\infty
,A
není omezená shora\Leftrightarrow \sup A = +\infty
.