1,011 B
1,011 B
Zadání
Vypočítejte moment setrvačnosti homogenního válce o poloměru R a hmotnosti m vzhledem k rotační ose symetrie.
- homogenní válec
\to \rho = \text{konst.}
(hustota) - poloměr
R
- hmotnost
m
- moment setrvačnosti
J = \, ?
- tloušťka stěny
dr
- poloměr trubky
r
- délka válce
l
Výpočet
J = \int dJ = \int_{m} r^2 \cdot dm
dm
- kolmá vzdálenost rotace od osy rotace\rho = \frac{dm}{dV} \implies dm = \rho \cdot dV
dV
- diferenciální objem válcedV = dS \cdot l = 2\pi r \cdot dr \cdot l
dS
- diferenciální plocha boční stěny válcedS = 2\pi r \cdot dr
J = \int_{m} r^2 \cdot dm = \int_{V} r^2 \cdot \rho \cdot dV = \int_{0}^{R} r^2 \cdot \rho \cdot 2\pi r \cdot l \cdot dr = \pi \cdot l \cdot \rho \cdot \frac{R^4}{2}
Výsledek
J = \frac{1}{2} \pi \cdot R^2 \cdot l \cdot \rho \cdot R^2 = \frac{1}{2}m \cdot R^2
S = \pi \cdot R^2
v = S \cdot l
m = v \cdot \rho