5 KiB
5 KiB
Tabulka pokrytí
x | y | z | 0 | 1 | 4 | 5 | 6 | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0, 1, 4, 5 | - | 0 | - | 0 | 0 | 0 | 0 | \overline y |
|
4, 6 | 1 | - | 0 | 0 | 0 | x \overline z |
- minimální disj. forma:
f(x, y, z) = \overline y + x \overline z
- každý prvek množiny
\{ 0, 1, 4, 5, 6 \}
musí být obsažen v alespoň jedné množině vybraných podmnožin \to
minimalizace počtu překrývajících podmnožin
x | y | x \mid y |
x \downarrow y |
(x \mid y) \mid (x \mid y) |
(x \downarrow y) \downarrow (x \downarrow y) |
---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
- Schefferova NAND
(x \mid y) \mid (x \mid y) = x \wedge y \quad
"x a zároveň y"
- Peirceova NOR
(x \downarrow y) \downarrow (x \downarrow y) = x \vee y \quad
"x nebo y"
- SAT úloha (SAT problem) - otázka: je B. f. splnitelná pro alespoň 1 vstup
- ? jak rychle to jde
P \neq NP
Teorie grafů
- Neorientované grafy
- X množina (konečná),
x \choose 2
- množina všech dvouprvkových podmnožin množiny X, ta má\mid x\mid\choose 2
- neorientovaný graf
G = (V, E)
- V vertex, E edge- V konečná množina [množina vrcholů]
E \leq {V\choose 2}
[množina hran]- odpovídá relaci na V, která je antireflexivní a symetrická
- speciální grafy
- cesta
1 - 2 - 3 - 4 - \dots - n
nan
vrcholechPn
délkyn-1
- cesta
- bipartitní graf
K_{m, n}
V = A \cup B, A \cap B = \emptyset
E \subseteq \{ \{a,b\} \mid a \in A, b \in B \}
K_{2,3}
- úplný graf
K_{n}
V = \{ 1, \dots, n \}
E = {V\choose 2}
- diskrétní graf
E = \emptyset
- X množina (konečná),
- Rovnost grafů
G_{1} = G_{2}
G_{1} = (V_{1}, E_{1}), G_{2} = (V_{2}, E_{2})
, pokudV_{1} = V_{2}, E_{1} = E_{2}
- Homomorfismus
G_{1} = (V_{1}, E_{1})
G_{2} = (V_{2}, E_{2})
f: V_{1} \to V_{2}
je homomorfismus, pokud platíxy \in E_{1} \implies f(x)f(y) \in E_{2}
- zobrazení indukované zobrazením
f
:f^*
f^* : {V_{1}\choose 2} \to {V_{2}\choose 2}
f^*(uv) = f(u)f(v)
- Morfismy grafů
f
se nazývá- vzcholový monomorfismus, j-li
f
prosté (injektivní) - vrcholový epimorfismus, je-li
f
na (surjektivní) - hranový monomorfismus, je-li
f^*
prosté - hranový epimorfismus, je-li
f^*
na - monomorfismus, jsou-li
f, f^*
prosté - epimorfismus, je-li
f, f^*
na - izomorfizmus, je-li
f, f^*
prosté i na
- vzcholový monomorfismus, j-li
G_{1}, G_{2}
jsou izomorfníG_{1} \approxeq G_{2}
, pokud existuje izomorfizmusf: V(G_{1}) \to V(G_{2})
- přenáší hrany na hrany a nehrany na nehrany
- ? jak rychle rozhodnout, zda 2 grafy jsou izomorfní ?
- automorfisms grafu
G:
izomorfismusG \to G
- všechny izomorfismy
G \to G
triviální: identické zobrazení - složení izomorfismů (automorfismů) je opět izomorfismus (automorfismus)
\forall
izomorfismus (automorfismus)\exists
izomorfismus (automorfismus) inverzní\exists
identický automorfismus- množina automorfismů s operací skládání tvoří grupu
- Aut(G)
- všechny izomorfismy
- stupeň vrcholu v
- okolí vrcholu v
- otevřené okolí:
N(v) = \{ u \in V \mid uv \in E \}
- uzavřené okolí:
N[v] = N(v) \cup \{ v \}
- otevřené okolí:
\deg_{G}(v) = \text{d}_{G}(v) = \vert N(v) \vert
- minimální stupeň grafu
\delta(G) = \min\{ \deg_{G}(v) \mid v \in V \}
- maximální stupeň grafu
\Delta(G) = \max\{ \deg_{G}(v) \mid v \in V \}
- časté značení
\vert V(G) \vert = n
,\vert E(G)\vert = m
\deg_{G}(v) \leq n-1 = \vert V(G) \vert - 1
\Delta(G) \leq \vert V(G) \vert - 1
- Věta:
\sum_{v \in V} \deg_{G}(V) = 2m = 2 \cdot \vert E(G) \vert
- důsledek: počet vrcholů lichého stupně je v grafu vždy sudýv
- handshaking lemma
- důsledek: počet vrcholů lichého stupně je v grafu vždy sudýv
- okolí vrcholu v
- skóre grafu
- posloupnost stupňů všech vrcholů seřazená nerostoucím způsobem
- graf
\to
skóre (soubor stupňů) - ? posloupnost čísel
\to
skóre- pro danou posloupnost rozhodnout, zda je skóre nějakého grafu
- např. 6, 6, 6 - graf neexistuje
- Věta (Havel, Hakimi)
d = (d_{1}, d_{2}, \dots, d_{n}) \quad d_{1} \geq d_{2} \geq \dots \geq d_{n}, n \geq 2
- je grafová, právě tehdy když
d' = (d_{2}-1, \dots, d_{d_{1}+1}-1, d_{d_{1}+2}, \dots, d_{n})
je grafová
- Př.:
4, 4, 3, 2, 1, 1 \to 3, 2, 1, 0, 1 \to 3, 2, 1, 1, 0 \to 1, 0, 0, 0
- není grafová